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Chapter 6 角动量定理与角动量守恒定律

约 1361 字大约 5 分钟

2026-4-14

一、力矩、角动量

  1. 力矩
  • 定义：力对参考点的力矩，描述力的转动效应 M⃗=r⃗×F⃗\vec M = \vec r \times \vec F
  • 质点系总外力矩： M⃗外=∑i=1Nr⃗i×F⃗i外\vec M_{\text{外}} = \sum_{i=1}^N \vec r_i \times \vec F_{i\text{外}}
  1. 角动量（动量矩）
  • 单质点角动量： L⃗=r⃗×mv⃗=r⃗×p⃗\vec L = \vec r \times m\vec v = \vec r \times \vec p
  • 质点系总角动量： L⃗=∑i=1Nr⃗i×miv⃗i\vec L = \sum_{i=1}^N \vec r_i \times m_i \vec v_i

二、单质点角动量定理

  1. 推导

对 L⃗=r⃗×mv⃗\vec L = \vec r \times m\vec v 求时间导数：

dL⃗dt=ddt(r⃗×mv⃗)=dr⃗dt×mv⃗+r⃗×d(mv⃗)dt\frac{\mathrm{d}\vec L}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec r \times m\vec v) = \frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t} \times m\vec v + \vec r \times \frac{\mathrm{d}(m\vec v)}{\mathrm{d}t}

第一项： dr⃗dt=v⃗\frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t} = \vec v ，故 v⃗×mv⃗=0\vec v \times m\vec v = 0 （同方向叉乘为零）

dL⃗dt=M⃗\frac{\mathrm{d}\vec L}{\mathrm{d}t} = \vec M

  1. 积分形式

对微分形式积分，从 t1t_1 到 t2t_2 ：

∫t1t2M⃗dt=L⃗(t2)−L⃗(t1)\int_{t_1}^{t_2} \vec M \mathrm{d}t = \vec L(t_2) - \vec L(t_1)

三、质点系角动量定理

  1. 内力力矩的抵消

质点系中任意两质点 i,ji,j 的内力为 F⃗ij与F⃗ji=−F⃗ij\vec F_{ij}与\vec F_{ji}=-\vec F_{ij} ，它们对参考点的力矩和为：

r⃗i×F⃗ij+r⃗j×F⃗ji=(r⃗i−r⃗j)×F⃗ij\vec r_i \times \vec F_{ij} + \vec r_j \times \vec F_{ji} = (\vec r_i - \vec r_j) \times \vec F_{ij}

由于内力沿两质点连线， F⃗ij∥(r⃗i−r⃗j)\vec F_{ij} \parallel (\vec r_i - \vec r_j) ，叉乘为零。 因此质点系所有内力的力矩之和恒为零，角动量定理仅需考虑外力矩。

  1. 微分形式

M⃗外=dL⃗dt\vec M_{\text{外}} = \frac{\mathrm{d}\vec L}{\mathrm{d}t} 分量形式（直角坐标系）： Mx外=dLxdt,My外=dLydt,Mz外=dLzdtM_{x\text{外}} = \frac{\mathrm{d}L_x}{\mathrm{d}t},\quad M_{y\text{外}} = \frac{\mathrm{d}L_y}{\mathrm{d}t},\quad M_{z\text{外}} = \frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}

  1. 积分形式

∫tt+ΔtM⃗外dt=L⃗−L⃗0\int_{t}^{t+\Delta t} \vec M_{\text{外}} \mathrm{d}t = \vec L - \vec L_0

角动量定理的参考点是固定的，由于力矩和力的作用点有关，力的力矩之和不等于合力的力矩。

如果只关注转轴方向的角动量，角动量与轴上的参考点无关，在 m1,m2m_1,m_2 所在的位置向转轴作垂线，分别求对转轴的角动量然后求和。

r⃗×F⃗\vec{r} \times \vec{F} 是力矩的定义，合外力矩即外力矩的合，用行列式展开：

r⃗×F⃗=∣i⃗j⃗k⃗xyzFxFyFz∣\vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x & y & z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}

展开后为：

i⃗(yFz−zFy)−j⃗(xFz−zFx)+k⃗(xFy−yFx)\vec{i}(yF_z - zF_y) - \vec{j}(xF_z - zF_x) + \vec{k}(xF_y - yF_x)

角动量的定义是 L⃗=r⃗×mv⃗=Lxi⃗+Lyj⃗+Lzk⃗\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v} = L_x\vec{i} + L_y\vec{j} + L_z\vec{k} ，它对时间的导数：

ddtL⃗=ddt(Lxi⃗+Lyj⃗+Lzk⃗)\frac{d}{dt}\vec{L} = \frac{d}{dt}(L_x\vec{i} + L_y\vec{j} + L_z\vec{k})

四、质心系下的角动量定理

  1. 角动量的分解：柯尼希型分解

设质心位置 r⃗C\vec r_C ，质心速度 v⃗C\vec v_C ；质点 ii 相对质心的位置为 r⃗iC\vec r_{iC} ，相对质心的速度为 v⃗iC\vec v_{iC} ，则： r⃗i=r⃗C+r⃗iC,v⃗i=v⃗C+v⃗iC\vec r_i = \vec r_C + \vec r_{iC},\quad \vec v_i = \vec v_C + \vec v_{iC}

质点系总角动量：

L⃗=∑i=1N(r⃗C+r⃗iC)×mi(v⃗C+v⃗iC)\vec L = \sum_{i=1}^N (\vec r_C + \vec r_{iC}) \times m_i (\vec v_C + \vec v_{iC})

展开后交叉项中，利用质心定义 ∑mir⃗iC=0、∑miv⃗iC=0\sum m_i \vec r_{iC}=0、\sum m_i \vec v_{iC}=0 ，可化简为： 展开后得到四项：

L=rc×∑imivc+rc×∑imivic+m[∑imiricm]×vc+∑iric×mivicL = \boldsymbol{r}_c \times \sum_i m_i \boldsymbol{v}_c + \boldsymbol{r}_c \times \sum_i m_i \boldsymbol{v}_{ic} + m\left[\frac{\sum_i m_i \boldsymbol{r}_{ic}}{m}\right] \times \boldsymbol{v}_c + \sum_i \boldsymbol{r}_{ic} \times m_i \boldsymbol{v}_{ic}

第一项： rc×∑imivc=rc×mvc=Lc\boldsymbol{r}_c \times \sum_i m_i \boldsymbol{v}_c = \boldsymbol{r}_c \times m\boldsymbol{v}_c = L_c （质心对固定点的角动量）

第二项： ∑imivic\sum_i m_i \boldsymbol{v}_{ic} 是质心系中质点系的总动量，质心系是零动量系，此项为 0\boldsymbol{0}

第三项： ∑imiricm\frac{\sum_i m_i \boldsymbol{r}_{ic}}{m} 是质心系中质心的位置矢量，质心系中质心位置为 0\boldsymbol{0} ，此项为 0\boldsymbol{0}

第四项： ∑iric×mivic=L′\sum_i \boldsymbol{r}_{ic} \times m_i \boldsymbol{v}_{ic} = L' （质点系在质心系中对质心的角动量）

L=Lc+L′L = L_c + L'

质点系对固定点的角动量 = 质心对固定点的角动量 + 质点系在质心系中对质心的角动量

  1. 质心系角动量定理

质心系为平动非惯性系，质点受平动惯性力 F⃗i惯=−mia⃗C\vec F_{i\text{惯}} = -m_i \vec a_C ，其对质心的力矩和为：

M⃗惯=∑r⃗iC×(−mia⃗C)=−(∑mir⃗iC)×a⃗C=0\vec M_{\text{惯}} = \sum \vec r_{iC} \times (-m_i \vec a_C) = -\left( \sum m_i \vec r_{iC} \right) \times \vec a_C = 0

因此，质心系下惯性力力矩为零，角动量定理形式与惯性系完全一致：

M⃗C外=dL⃗Cdt\vec M_{C\text{外}} = \dfrac{\mathrm{d}\vec L_C}{\mathrm{d}t}

（ M⃗C外\vec M_{C\text{外}} 为外力对质心的力矩和）

五、角动量守恒定律

  1. 守恒条件

当合外力矩为零（ M⃗外=0\vec M_{\text{外}}=0 ）时，角动量不随时间变化： L⃗=常矢量\vec L = \text{常矢量}

  1. 分量守恒

若某一方向上的外力矩分量为零，则该方向角动量分量守恒：

例：外力矩在z轴分量 Mz外=0M_{z\text{外}}=0 ，则 Lz=常数L_z = \text{常数}

六、有心力场

有心力指力始终沿质点与力心的连线，力和 r⃗\vec{r} 方向平行，对力心的力矩 r⃗×F⃗=0\vec r \times \vec F=0 ，角动量守恒。如天体运动、库仑力。

由此可推导出开普勒第二定律（面积定律）： dS⃗dt=12r⃗×v⃗=L⃗2m=常矢量\frac{\mathrm{d}\vec S}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2}\vec r \times \vec v = \frac{\vec L}{2m} = \text{常矢量} （行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积）

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