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Chapter 3 质点在非惯性参考系内的运动

约 1719 字大约 6 分钟

2026-4-14

一、相对性原理和参考系变换

1、Galileo相对性原理：惯性系中，牛顿力学具有相同的数学表达式

2、Einstein狭义相对论原理：惯性参考系等效，物理定律数学形式不变 dτ′=dτd\tau '=d\tau

3、Einstein广义相对论原理：一切参考系都是等价的：物理规律与参考系无关

二、非惯性系中质点的运动

当 v≪cv \ll c 时， S→S′S \to S' 参考系变换：

dt′=dt,dr⃗=dr⃗0+dr⃗′dt' = dt, \quad d\vec{r} = d\vec{r}_0 + d\vec{r}'

对时间二阶求导得加速度变换：

a⃗′=d2r⃗′dt′2=d2r⃗′dt2=d2r⃗dt2−d2r⃗0dt2=a⃗−a⃗0\vec{a}' = \dfrac{d^2\vec{r}'}{dt'^2} = \dfrac{d^2\vec{r}'}{dt^2} = \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} - \dfrac{d^2\vec{r}_0}{dt^2} = \vec{a} - \vec{a}_0

力的变换与惯性力推导：

惯性系 S 中： F⃗=ma⃗=md2r⃗dt2=md2r⃗0dt2+md2r⃗′dt2\vec{F} = m\vec{a} = m\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = m\dfrac{d^2\vec{r}_0}{dt^2} + m\dfrac{d^2\vec{r}'}{dt^2}

非惯性系 S' 中： F⃗′=md2r⃗′dt′2=md2r⃗′dt2=F⃗−md2r⃗0dt2=F⃗+F⃗惯\vec{F}' = m\dfrac{d^2\vec{r}'}{dt'^2} = m\dfrac{d^2\vec{r}'}{dt^2} = \vec{F} - m\dfrac{d^2\vec{r}_0}{dt^2} = \vec{F} + \vec{F}_\text{惯} 其中 F⃗惯=−ma⃗0\vec{F}_\text{惯} = -m\vec{a}_0 就是惯性力，是为了让非惯性系形式上满足牛顿第二定律引入的虚拟力。它与参考系的牵连加速度和惯性质量成正比，这是一个虚拟的力，无法找到施力物体。

三、惯性力本质

1、等效原理：惯性质量与引力质量等效。比如比萨斜塔实验，Etvos的扭秤实验

Einstein思想实验：

A.不能区分自由落体的电梯和无引力场的区别

B.不能区分静止在引力场中的电梯和向上匀加速的非惯性系

惯性力与引力的效果无法区分

四、物体大小对引力相互作用的影响

引力源在坐标原点右侧，距离地球原点为r；地球半径为R；地球表面有一点P，P与地心连线与地心引力源的连线夹角为 θ\theta ；引力的方向是P指向引力源，与x轴夹角为 α\alpha

首先给出引力场中某点受到的万有引力：

F⃗(θ)=GMms2(cos⁡α x^−sin⁡α y^)\vec{F}(\theta) = \dfrac{GMm}{s^2} \left( \cos\alpha\,\hat{x} - \sin\alpha\,\hat{y} \right)

其中，由余弦定理，该点到引力源的距离 s 满足：

s2=r2+R2−2rRcos⁡θ=r2(1+ξ2−2ξcos⁡θ)s^2 = r^2 + R^2 - 2rR\cos\theta = r^2\left(1 + \xi^2 - 2\xi\cos\theta\right)

这里定义了小量参数 ξ=Rr≪1\xi = \dfrac{R}{r} \ll 1（天体半径远小于到引力源的距离），为后续的泰勒展开做准备。

二、几何关系：用正弦/余弦定理化简分量

由正弦定理 sin⁡αR=sin⁡θs\dfrac{\sin\alpha}{R} = \dfrac{\sin\theta}{s} ，可得：

sin⁡α=Rsin⁡θs=ξsin⁡θ(1+ξ2−2ξcos⁡θ)1/2\sin\alpha = \dfrac{R\sin\theta}{s} = \dfrac{\xi\sin\theta}{\left(1 + \xi^2 - 2\xi\cos\theta\right)^{1/2}}

再由 sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 ，结合几何关系 cos⁡α=r−Rcos⁡θs\cos\alpha = \dfrac{r - R\cos\theta}{s} ，可得：

cos⁡α=1−ξcos⁡θ(1+ξ2−2ξcos⁡θ)1/2\cos\alpha = \dfrac{1 - \xi\cos\theta}{\left(1 + \xi^2 - 2\xi\cos\theta\right)^{1/2}}

将 cos⁡α\cos\alpha 和 sin⁡α\sin\alpha 代回引力表达式，整理得到：

F⃗(θ)=GMmr2(1−ξcos⁡θ)x^−ξsin⁡θ y^(1+ξ2−2ξcos⁡θ)3/2\vec{F}(\theta) = \dfrac{GMm}{r^2} \dfrac{(1 - \xi\cos\theta)\hat{x} - \xi\sin\theta\,\hat{y}}{\left(1 + \xi^2 - 2\xi\cos\theta\right)^{3/2}}

泰勒展开近似

利用小量展开公式：

1(1+ξ′)3/2≈1−32ξ′+158ξ′2+O(ξ′3)\dfrac{1}{(1+\xi ')^{3/2}} \approx 1 - \frac{3}{2}\xi ' + \frac{15}{8}\xi '^2+ \mathcal{O}(\xi '^3)

令 ξ′=ξ2−2ξcos⁡θ\xi' = \xi^2 - 2\xi\cos\theta ，则分母可展开为：

1(1+ξ2−2ξcos⁡θ)3/2≈1+3ξcos⁡θ+O(ξ2)\frac{1}{\left(1 + \xi^2 - 2\xi\cos\theta\right)^{3/2}} \approx 1 + 3\xi\cos\theta + \mathcal{O}(\xi^2)

将其代入引力表达式，展开并保留到一阶小量，得到近似后的引力场：

F⃗(θ)=GMmr2(1+3ξcos⁡θ)[(1−ξcos⁡θ)x^−ξsin⁡θ y^]\vec{F}(\theta) = \frac{GMm}{r^2} \left(1 + 3\xi\cos\theta\right)\left[(1 - \xi\cos\theta)\hat{x} - \xi\sin\theta\,\hat{y}\right]

展开后忽略二阶及以上小量，最终化简为：

F⃗(θ)≈GMmr2[(1+2ξcos⁡θ)x^−ξsin⁡θ y^+O(ξ2)]\vec{F}(\theta) \approx \frac{GMm}{r^2} \left[ \left(1 + 2\xi\cos\theta\right)\hat{x} - \xi\sin\theta\,\hat{y} + \mathcal{O}(\xi^2) \right]

潮汐力的定义与推导

潮汐力是天体上某点的引力与天体中心引力的差值：

  • 天体中心的引力场强度： F⃗O=GMmr2x^\vec{F}_O = \dfrac{GMm}{r^2}\hat{x}

  • 潮汐力： ΔF⃗(θ)=F⃗(θ)−F⃗O\Delta\vec{F}(\theta) = \vec{F}(\theta) - \vec{F}_O

将近似后的引力场代入，可得：

ΔF⃗(θ)≈GMmr2[2ξcos⁡θ x^−ξsin⁡θ y^+O(ξ2)]\Delta\vec{F}(\theta) \approx \dfrac{GMm}{r^2} \left[ 2\xi\cos\theta\,\hat{x} - \xi\sin\theta\,\hat{y} + \mathcal{O}(\xi^2) \right]

代入 ξ=Rr\xi = \dfrac{R}{r} ，整理得到潮汐力的最终形式：

ΔF⃗(θ)=GMmRr3(2cos⁡θ x^−sin⁡θ y^+O((Rr)2))\Delta\vec{F}(\theta) = \dfrac{GMmR}{r^3} \left( 2\cos\theta\,\hat{x} - \sin\theta\,\hat{y} + \mathcal{O}\left(\left(\dfrac{R}{r}\right)^2\right) \right)

潮汐力的大小就是求上式的模长

潮汐力的最大值出现在 θ=0\theta = 0 或 θ=π\theta = \pi （即天体的近点和远点）：

ΔFmax=2GMmRr3\Delta F_{\text{max}} = \dfrac{2GMmR}{r^3}

根据这个式子，得出太阳和月亮对地球的潮汐力形式：

ΔFSun=2GM⊙mRrSun3,ΔFMoon=2GMMoonmRrMoon3\Delta F_{\text{Sun}} = \dfrac{2GM_\odot mR}{r_{\text{Sun}}^3},\Delta F_{\text{Moon}} = \dfrac{2GM_{\text{Moon}} mR}{r_{\text{Moon}}^3}

ΔMoonΔSun=MMoonMSun(rSunrMoon)3=ρMoonρSun=2.2\dfrac{\Delta_{\text{Moon}}}{\Delta_{\text{Sun}}} = \dfrac{M_{\text{Moon}}}{M_{\text{Sun}}}\left(\dfrac{r_{\text{Sun}}}{r_{\text{Moon}}}\right)^3 = \dfrac{\rho_{\text{Moon}}}{\rho_{\text{Sun}}} = 2.2

虽然太阳质量远大于月球，但地日距离远大于地月距离，这也是地球潮汐主要由月球主导的原因。

地球潮汐力 vs 地球引力

ΔFMoonFEarth=2GMMoonmR/rMoon3GMEarthm/REarth2=1.1×10−7\dfrac{\Delta F_{\text{Moon}}}{F_{\text{Earth}}} = \dfrac{2GM_{\text{Moon}}mR/r_{\text{Moon}}^3}{GM_{\text{Earth}}m/R_{\text{Earth}}^2} = 1.1 \times 10^{-7}

潮汐力的大小仅为地球引力的约百万分之一，属于非常微弱的引力差效应。

地月之间的相互潮汐力：

ΔFOn MoonΔFOn Earth=MEarthRMoonMMoonREarth=22.2\dfrac{\Delta F_{\text{On Moon}}}{\Delta F_{\text{On Earth}}} = \dfrac{M_{\text{Earth}}R_{\text{Moon}}}{M_{\text{Moon}}R_{\text{Earth}}} = 22.2

地球对月球的潮汐力，是月球对地球潮汐力的约22倍。

这股强大的潮汐力逐渐减缓了月球的自转，最终让月球的自转周期与公转周期同步，也就是我们常说的潮汐锁定——月球始终以同一面朝向地球。

同理，地球的自转也在被月球的潮汐力逐渐减缓，未来地球也会被潮汐锁定（不过这个过程极其漫长），闰秒现象就是地球自转减速的直接体现，人为给世界时加上一秒，与原子时协调。

潮汐瓦解

当天体受到的引潮力大于自身引力时，就会被撕裂瓦解。

引潮力： FTidal=2GMpmRmr3F_{\text{Tidal}} = \dfrac{2GM_p m R_m}{r^3}

自身引力： FGravity=GMmmRm2F_{\text{Gravity}} = \dfrac{GM_m m}{R_m^2}

  1. 推导过程： 令 FGravity≤FTidalF_{\text{Gravity}} \le F_{\text{Tidal}} ，代入化简：

GMmmRm2≤2GMpmRmr3\dfrac{GM_m m}{R_m^2} \le \dfrac{2GM_p m R_m}{r^3}

可得：

r3≤2MpMmRm3=2ρpρmRp3r^3 \le 2\frac{M_p}{M_m} R_m^3 = 2\frac{\rho_p}{\rho_m} R_p^3

即 r≤(2ρpρm)1/3Rpr \le \left(2\dfrac{\rho_p}{\rho_m}\right)^{1/3} R_p ，这就是洛希极限的基础形式。

考虑天体形变影响后，洛希极限修正为：

r≤2.4(ρpρm)1/3Rpr \le 2.4\left(\frac{\rho_p}{\rho_m}\right)^{1/3} R_p

潮汐力的一般形式（张量形式）

暂时没看懂，待我学过再来

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2026/6/9 04:39
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