一、牛顿第一定律（Galileo原理）

一个物体在不受外力作用时，将保持静止或匀速直线运动状态。

由牛顿第一定律确定的参考系成为惯性参考系，也叫惯性系。

整体的惯性参考系是不存在的，只存在局部惯性参考系，比如自由下落的不旋转的电梯。相对于惯性系静止或者匀速直线运动的参考系都是惯性系。

二、牛顿第二定律：外力

力是改变物体运动状态的原因。 $\vec{F}=m\vec{a}$ ,它给出了力和惯性质量的度量。

力的度量：任取一个物体作为标准物体， $m=const$ ,在 $\vec{F_c}$ 的作用下加速度 $\vec{a_c}$

其他加速度下的力定义为 $\vec{F}=\dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{a_c}|}\vec{F_c}$ ，$\vec{a} \propto \vec{F}$

质量的度量：任取一个物体作为标准物体， $\vec{F}=const$ ，在 $m_c$ 时具有加速度 $\vec{a_c}$

其他加速度下质量的定义为 $m=\dfrac{|\vec{a_c}|}{|\vec{a}|}m_c$ ,$\vec{a} \propto \dfrac{1}{m}$

$\vec{F}=km\vec{a}$ 国际单位下 $k=1$

三、牛顿第三定律：作用力与反作用力

性质相同

力的同时性：同时消失同时产生，需要直接接触相互作用，因为异地的同时是相对的

两个力作用在不同物体上，不存在合力

四、Kapler三定律

第一定律（轨道定律）；第二定律（面积定律）；第三定律（周期定律） $T^2 =ca^3$

五、万有引力定律

考虑匀速率的圆周运动匀速圆周运动，则有 ( v = \text{const} )，( T = \frac{2\pi R}{v} )，故 [ \frac{R^3}{T2} = \frac{R^3}{\left( \frac{2\pi R}{v} \right)^2} = \frac{Rv^2}{4\pi2} = \tilde{G} M_\odot, ] 其中 ( \tilde{G} ) 为常数，( M_\odot ) 为太阳的质量。又由曲线运动 ( \vec{F} = m\vec{a} )，( a = \frac{v^2}{R} )，有 [ m \frac{1}{R^2} \frac{Rv^2}{4\pi2} = \tilde{G} M_\odot m \frac{1}{R^2}, ] 即， [ m \frac{v^2}{R} = \frac{4\pi^2 \tilde{G} M_\odot m}{R^2} = G_N \frac{M_\odot m}{R^2} = F_G. ]

其矢量形式为： [ \vec{F}G = - G_N \frac{M\odot m}{R^3} \vec{R}, ] 其中 ( \vec{R} ) 为由 ( M_\odot ) 到 ( m ) 的径矢，( G_N ) 为牛顿万有引力常数，其大小由实验确定。此处的质量应为“引力质量“，即物体感受引力大小

地月检验：使苹果落下的力和维持月球绕地运动的力是同一种力，一个根据平方反比，一个根据周期和距离

万有引力定律推导（从开普勒定律出发）

1. 极坐标下的位置、速度与加速度

极坐标：$r = r(t),\ \varphi = \varphi(t)$，转换为直角坐标：

$$x = r\cos\varphi,\quad y = r\sin\varphi$$

对时间求二阶导，得到加速度分量：

$$\begin{aligned} x'' &= (r\cos\varphi)'' = (r'' - r\varphi'^2)\cos\varphi - (2r'\varphi' + r\varphi'')\sin\varphi \\ y'' &= (r\sin\varphi)'' = (2r'\varphi' + r\varphi'')\cos\varphi + (r'' - r\varphi'^2)\sin\varphi \end{aligned}$$

也可以用自然坐标系表示：

$$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{ds}\frac{ds}{dt} = v \frac{d\vec{r}}{ds}$$

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(v \frac{d\vec{r}}{ds}\right) = v' \frac{d\vec{r}}{ds} + v \frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{ds}\right) = v' \vec{T} + \frac{v^2}{R} \vec{N}$$

其中 $\vec{T}$ 为切向单位矢量，$\vec{N}$ 为法向单位矢量。

---

2. 角动量守恒（面积速度恒定）

面积元，当成直角三角形计算：

$$dS = \dfrac{1}{2}rdl = \frac{1}{2} r^2 d\varphi$$

面积速度：

$$S' = \frac{dS}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \varphi'$$

由开普勒第二定律（面积速度恒定），$S'' = 0$，即：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} r^2 \varphi'\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2r' \varphi' + r^2 \varphi'' = 0$$

这正是角动量守恒的微分形式，带入到上方1里加速度分量的公式，也验证了加速度的横向分量为零：

$$x'' = (r'' - r\varphi'^2)\cos\varphi,\quad y'' = (r'' - r\varphi'^2)\sin\varphi$$

加速度只有沿着径向的加速度，可见上一节最后

---

3. 椭圆轨道方程与径向运动

开普勒第一定律：行星轨道为椭圆，极坐标方程为

$$r = \frac{p}{1 + e\cos\varphi},\quad p = \frac{b^2}{a},\ e = \frac{c}{a} < 1$$

其中 $a$ 为半长轴，$b$ 为半短轴，$e$ 为偏心率。

对轨道方程两次求导，可推导出径向运动方程：

$$r''(1 + e\cos\varphi) - e r \varphi'^2 \cos\varphi = 0$$

整理为：

$$\frac{r''}{r} - \varphi'^2 = -\frac{\varphi'^2}{1 + e\cos\varphi}$$

---

4. 结合开普勒第三定律，推导平方反比力

由开普勒第二定律，面积速度：

$$S' = \frac{1}{2} r^2 \varphi' = \frac{\pi a b}{T}$$

因此：

$$r^2 \varphi' = \frac{2\pi a b}{T}$$

代入径向加速度表达式：

$$\begin{aligned} \frac{r''}{r} - \varphi'^2 &= -\frac{4\pi^2 a^2 b^2}{T^2 r^4 (1 + e\cos\varphi)} \\ &= -\frac{4\pi^2 a b^2}{T^2 p} \frac{1}{r^3} \\ &= -\frac{4\pi^2 a^3}{T^2} \frac{1}{r^3} \end{aligned}$$

根据开普勒第三定律，$\dfrac{4\pi^2 a^3}{T^2} = G_N M_\odot$，径向加速度为： $\vec{a} = \left( \dfrac{r''}{r} - \varphi'^2 \right) \vec{r} = -\dfrac{4\pi^2 a^3}{T^2} \dfrac{1}{r^3} \vec{r}$

牛顿第二定律给出万有引力：

$$\vec{F}_G = m_I \vec{a} = - G_N \frac{M_G m_G}{r^3} \vec{r}$$

推导用到了 等效原理

更新日志

2026/6/9 04:39

查看所有更新日志

• 86557-formechanics于 2026/6/9

版权所有

版权归属：LucyWWWmm

许可证：署名-非商业性-相同方式共享 4.0 国际 (CC-BY-NC-SA-4.0)