一、质点系的质心

质点的动力学方程已知，但是质点系内质点的相互作用力是未知的，想求解质点系中每个质点的动力学方程组是不可能的。我们想在质点系中找到一点，用该点的运动方程代表质点系的整体运动。

对于质点系而言就有了内外力之分，质点系内质点的相互作用力叫内力，其内力可以表示为 $\vec{F_{ij}},i\not= j$

在三个质点的体系中，对第一个质点有 $\vec{F_1}+\vec{F_{21}}+\vec{F_{31}} = m_1 \dfrac{d^2\vec{r_1}}{dt^2}$

以此类推有三个方程组，由牛顿第三定律有内力 $\vec{F_{21}}=-\vec{F_{12}}$

三个式子相加，左侧是合外力 $\vec{F_1}+\vec{F_{2}}+\vec{F_{3}} = m_1 \dfrac{d^2\vec{r_1}}{dt^2}+m_2\dfrac{d^2\vec{r_2}}{dt^2}+m_3 \dfrac{d^2\vec{r_3}}{dt^2}$

$\vec{F}=(m_1 +m_2 +m_3)\dfrac{d^2}{dt^2}(\dfrac{m_1 \vec{r_1} +m_2 \vec{r_2} +m_3 \vec{r_3}}{m_1 +m_2 +m_3})$

于是对于N个质点组成的质点系有

$$\boldsymbol{F} = \sum_{i=1}^N \boldsymbol{F}_i = m \frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}_C}{\mathrm{d}t^2} = m\boldsymbol{a}_C$$

质心的定义为：

$$m = \sum_{i=1}^N m_i,\boldsymbol{r}_C = \frac{\sum_{i=1}^N m_i\boldsymbol{r}_i}{m}$$

$\boldsymbol{a}_C = \dfrac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}_C}{\mathrm{d}t^2}$ 称为质心加速度 ， $\boldsymbol{v}_C = \dfrac{\sum_{i=1}^N m_i\boldsymbol{v}_i}{m}$

$\boldsymbol{a}_C = \dfrac{\sum_{i=1}^N m_i\boldsymbol{a}_i}{m}$

二、质心的特点

根据公式可知，有位置矢量，故质心的位置与坐标系的选取有关，但是对于质点系本身，质心的位置是确定的。

因为对于质点系任意一点，到质心的位移矢量与参考系的选取无关。

三、质心的求法

1、分立质点系的质心：用定义求即可

2、连续质点系的质心：采用微元法

${r}_C = lim_{\Delta m_i \to 0,N\to \infty}\dfrac{\sum_{i=1}^N m_i\boldsymbol{r}_i}{\sum_{i=1}^N\Delta m_i} =\dfrac{1}{m}\int\vec{r}dm$

这个矢量式可以在直角坐标系下分解成三个同格式的式子

3、规则几何形状、密度均匀的物体的质心为其几何中心

$\boldsymbol{\vec r_C=\dfrac1m\int \vec r \,dm=\dfrac1m \int \vec r \rho(\vec r)d\tau}=\dfrac{\rho}{m}\int\vec r d\tau$

4、多个物体组成的系统：先求出每个物体的质心，然后用分立质心系的求法

四、质心坐标系

以质点系的质心为参考点，坐标轴的方向始终与某一惯性参考系的坐标轴保持平行

不受外力作用或者外力矢量和为零的质点系。其质心系是惯性系；受外力的话其质心系是非惯性系

五、质点系动量定理

冲量： $\boldsymbol{\vec I=\int_{t}^{t+\Delta t}\vec F dt}$

由牛顿第二定律 $\displaystyle \vec F=\frac{d(m\vec v)}{dt}$

$\int_{t}^{t+\Delta t}\vec F dt=\int_{t}^{t+\Delta t}\dfrac{d(m\vec v)}{dt}dt=\vec p(t+\Delta t)-\vec p(t)=m\vec v(t+\Delta t)-m\vec v(t)$

这个式子说明，外力的冲量等于质点动量的改变量，这是质点的动量定理

与质点系的质心推导同理

$\int_{t}^{t+\Delta t}\sum_{i=1}^N\vec F dt=\sum_{i=1}^N m\vec v(t+\Delta t)-\sum_{i=1}^N m\vec v(t)=\vec p(t+\Delta t)-\vec p(t)$

说明质点系所受合外力的冲量，等于质点系动量的变化量

六、质心动量定理

$\boldsymbol{F} = \sum_{i=1}^N \boldsymbol{F}_i = m \dfrac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}_C}{\mathrm{d}t^2} = m\boldsymbol{a}_C$ 对它积分 $\int_{t}^{t+\Delta t}\left(\sum_i \vec F_i\right)dt = m\vec v_C(t+\Delta t)-m\vec v_C(t)=\vec p_C(t+\Delta t)-\vec p_C(t)$

这是质心动量定理：合外力的冲量等于质心动量的增量

同时也等于质点系内各物体动量之和，故合外力的作用效果可以等效到质心上

七、质点系动量守恒

当系统的合外力为0时，体系的总动量不变

推论1：如果体系的初始质心速度为0，则质心位置保持不变， $\vec{v(C)}=0=\dot{\vec{r_C}}(t)$ , $\vec{r_C}(t)=const$

推论2：如果体系有质心初速度，则在以后的运动过程中，质心速度不变

以上的所有定理和定律都在牛顿第二定律条件下推导出来，只适用于惯性系，非惯性系下要考虑惯性力

各物体的速度必须在同一参考系下

动量守恒条件是合外力为零，还有一些近似条件：

当合外力远小于内力时，且作用时间很短：炸药在空中爆炸，对软弹簧碰撞，小摩擦下的碰撞问题

如果在某一个方向上合外力为零，在该方向上动量守恒，比如竖直或者水平方向

八、质心系下质点系的总动量

在惯性系和非惯性系下都有 $\int (F_{\text{外}} +F_{\text{惯}})dt = \vec{p_C}'-\vec{p_{C0}}'$

如果质心系是惯性系，那么合外力为零，进一步 $\vec{a_C}$ 为零，惯性力为零，可得 $\vec{p_C}'=\vec{p_{C0}}'$

如果质心系是非惯性系，其是加速平动的非惯性系，所以 $\vec{F_\text{惯}}=\sum m_i(-\vec{a_c})=-m\vec{a_c}$

而 $\vec{F_\text{外}}=m\vec{a_c}$ ,同样可以得到 $\vec{p_C}'=\vec{p_{C0}}'$

所以说相对质心系而言动量守恒

分立公式求得 $\boldsymbol p'_c=\sum m_i \boldsymbol v'_i=\dfrac{d}{dt}\sum m_i\boldsymbol r'_i =m \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\sum m_i\boldsymbol r'_i}{m}\right)=m\dfrac{d\boldsymbol r'_c}{dt}$ ， $r_c$ 是质心相对参考系位置，等于

连续公式下，质心相对质心系的速度当然是零 $\boldsymbol p'_c = m\boldsymbol v'_c=\boldsymbol 0$

所以质心系下 质点系的总动量为零

九、变质量系统

在运动过程中不断地有质量为 $dm$ 的附体相对主体速度 $\vec{u}$ 离开或者进入主体

$\boldsymbol F_{\text{主-附}}$ ：主体对附体作用力； $\boldsymbol F_{\text{附-主}}=-\boldsymbol F_{\text{主-附}}$ ：附体对主体反作用力

1.以附体为研究对象

附体进入主体

吸附， $\boldsymbol{\mathrm{d}m=\mathrm{d}m_0>0}$

动量定理： $\boldsymbol F_{\text{主-附}}\mathrm{d}t=\mathrm{d}m(v+\mathrm{d}v)-\mathrm{d}m\cdot u$ 忽略二阶小量 $\mathrm{d}m\mathrm{d}v$ ，整理： $\boldsymbol F_{\boldsymbol{主-附}}=-\boldsymbol u \dfrac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=-\boldsymbol u \dfrac{\mathrm{d}m_0}{\mathrm{d}t}$

附体流出主体

$\boldsymbol{\mathrm{d}m=-\mathrm{d}m_0<0}$

动量定理： $\boldsymbol F_{\text{主-附}}\mathrm{d}t=\mathrm{d}m(v+\mathrm{d}v+\boldsymbol u)-\mathrm{d}m \cdot v$ 忽略二阶小量，最终公式同上式

2.主体+附体整体为研究对象

流入/流出两种情况化简后统一形式

对整体列动量定理，F为主体和附体受的合外力

$\vec{F}dt=[(m_0 +dm)(\vec{v}+d\vec{v})]-[m_0 \vec{v}+dm(\vec{v}+ \vec{u})]$

忽略高阶小量： $\boldsymbol F+\boldsymbol u \dfrac{\mathrm{d}m_0}{\mathrm{d}t}=m_0 \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol v}{\mathrm{d}t}$

3,主体（变质量系统）

把附体的反作用力 $\boldsymbol F_{\text{附-主}}$ 视作主体外力，联立上面式子 \boldsymbol F+\boldsymbol F_{\boldsymbol{附-主}}=m_0\dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol v}{\mathrm{d}t}\tag{4.3.1-6}

主体是变质量系统，不能直接套用普通质点动量定理；把附体的相互作用力等效成外力后，才可对变质量主体使用质心运动定理；

$m_0$ 是时变质量， $\boldsymbol{\dfrac{\mathrm{d}(m_0v)}{\mathrm{d}t}\neq m_0\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}$

火箭发射

$\quad \int \mathrm{d}\vec{v}=\int \vec{u}\dfrac{\mathrm{d}m}{m}+\int \dfrac{\vec{F}}{m}\mathrm{d}t$$\vec u$ 喷出气体相对火箭速度； $\vec F$ 系统外力。

竖直向上为正、 $\boldsymbol{\vec u=\mathrm{const},\vec F=m\vec g}$

$v(t)=v_0-u\ln\dfrac{m(t)}{m_0}-gt=v_0+u\ln\dfrac{m_0}{m(t)}-gt$

取初速度 $v_0=0$ ， $T$ 燃料总燃烧时长，末剩余质量 $m_T=m_0-m_{\text{Fuel}}$ ： $v_\mathrm{max}=u\ln\dfrac{m_0}{m_T}-gT$ 忽略重力 g=0： $\boldsymbol{\Delta u=u\ln\dfrac{m_0}{m_T}}$

u越大， $\Delta u$ 越大，化学能可提供的 $u=5000\mathrm{m/s}=5\mathrm{km/s}$ ,化学燃料喷气速率受化学能上限约束。

$(m_0-m)\vec{v}+m(\vec{v}+\vec{u})=0$ ，得到 $v=\dfrac{mu}{m_0}$ ，由 $m\le m_0$ ，可知 $v\le u$ 单次瞬间喷射火箭速度无法超过喷气相对速度u,燃料长期累积燃烧可实现超越 $\vec u$ 例如 $\Delta u=3u=u\ln(\dfrac{m_0}{m_T})$ ，需满足 $\dfrac{m_0}{m_T}=e^3\approx20$ ，即1kg载荷需要19kg燃料

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2026/6/9 04:39

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• 86557-formechanics于 2026/6/9

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