Chapter 5 功能原理和机械能守恒定律

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2026-4-14

上一章我们从力对时间的累积效果考虑问题，本章我们从力对空间的累积效果来考虑问题，当然它们都以牛顿第二定律为基础。近几章的推导大多沿着教材走的。

一、质点动能定理

由牛顿第二定律 $\boldsymbol{F}=m\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}$ ，将公式两侧点乘元位移 $d\boldsymbol{r}$ ，进行空间积分，推导动能定理。 $\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=m\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}\cdot d\boldsymbol{r}=m\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{v} \tag{5.1.1-1a}$ $\int_{\boldsymbol{r}_a}^{\boldsymbol{r}_b}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=m\int_{v_a}^{v_b}\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{v}$ 利用微分变换： $d(v^2)=d(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v})=2\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{v}\implies \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{v}=\dfrac12d(v^2)$ ，代入积分。

$\int_{\boldsymbol{r}_a}^{\boldsymbol{r}_b}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=\frac12mv_b^2-\frac12mv_a^2$

A=E_{\text{k}b}-E_{\text{k}a}

这就是质点的动能定理，A表示从初态a到末态b作用在质点上的力F所做的功

动能： $E_\text{k}=\dfrac12mv^2$ ，质点运动对应的状态量。

二、力的功、功率

1、恒力的功

A=F\cos \alpha \Delta \boldsymbol{r}=\boldsymbol{F}\cdot \Delta \boldsymbol{r}

2、变力的功

A=\lim_{\substack{n\rightarrow\infty\\\Delta \boldsymbol{r}_i\rightarrow0}}\sum_{i=1}^{n}\boldsymbol{F}_i\cdot \Delta\boldsymbol{r}_i=\int_{\boldsymbol{r}_a}^{\boldsymbol{r}_b}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}

也可以在直角坐标系下分解

\begin{align*} A=\int_{\boldsymbol{r}_a}^{\boldsymbol{r}_b}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} &=\int_{\boldsymbol{r}_a}^{\boldsymbol{r}_b}\left(F_x\boldsymbol{i}+F_y\boldsymbol{j}+F_z\boldsymbol{k}\right)\cdot \left(dx\boldsymbol{i}+dy\boldsymbol{j}+dz\boldsymbol{k}\right) \\ &=\int_{x_a}^{x_b} F_x dx+\int_{y_a}^{y_b} F_y dy+\int_{z_a}^{z_b} F_z dz \end{align*}

3、功率

P=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{dA}{dt}=\frac{\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{v}

三、质点系动能定理

与之前质心的推导相似，这里给出结论

A_{\text{外}} + A_{\text{内}}=E_k-E_{k0}

$E_k,E_{k0}$ 表示质点系末态和初态的总动能，第二项表示所有对内力所做的功，注意是对。

在这里内力和外力的做功之和不等于合内力和合外力做的功，因为各质点的位移不同。

这里是惯性系下的功，在非惯性系下分析时，引入惯性力的功即可。

四、质点系动能定理的内力功分析

一对内力功的特点

刚才我们提到了第二项是一对对内力，任取i、j两个质点，内力用 $F_{ij}=-F_{ji}$ 表示

$\begin{align*}A&=\boldsymbol{F}_{ji}\cdot d\boldsymbol{r}_i -\boldsymbol{F}_{ji}\cdot d(\boldsymbol{r}_i+\boldsymbol{\Delta r}_{ij}) \\ &=\boldsymbol{F}_{ji}\cdot d\boldsymbol{r}_i -\boldsymbol{F}_{ji}\cdot d\boldsymbol{r}_i -\boldsymbol{F}_{ji}\cdot d(\boldsymbol{\Delta r}_{ij}) \\&= -\boldsymbol{F}_{ji}\cdot d(\boldsymbol{\Delta r}_{ij}) \end{align*}$

所以一对内力功的计算和参考系的选择无关，一般选取其中一个质点为参考，会方便计算

保守内力和非保守内力

暂时先省略推导过程，在常见的内力中，地球与物体的相互作用重力，两个物体的万有引力，弹簧弹力——它们做的功只与初态和末态的相对位置有关，与做功路径无关的一对内力称为保守内力，其他力称为非保守内力。可知保守内力是无旋的。

摩擦力的功与路径有关，而且始终伴随能量消耗，称这种力为耗散力。

质点系的势能

势能增量的负值等于保守力做的功

$\boldsymbol{F}=-\nabla E_\mathrm{p} \quad \begin{cases} F_x=-\dfrac{\partial E_\mathrm{p}}{\partial x}\\ F_y=-\dfrac{\partial E_\mathrm{p}}{\partial y}\\ F_z=-\dfrac{\partial E_\mathrm{p}}{\partial z} \end{cases}$

由势能判平衡稳定性

平衡位置 $F=-\dfrac{\mathrm dE_\mathrm p}{\mathrm d x}=0$

$\boldsymbol{\dfrac{\mathrm d^2E_\mathrm p}{\mathrm d x^2}\big|_{x_0}}$ 0 →稳定平衡；<0 →不稳定平衡；=0 需更高阶导数判断

图像上来看，左右移动势能产生变化是不稳定平衡点，直线是随遇平衡点

五、质点系功能原理与机械能守恒定律

由保守内力与势能关系，质点系动能定理，机械能等于动能加势能得出

A_{\text{外}} +A_{\text{内非保}} =E-E_0

所以在左侧等于0时，右侧守恒

柯尼希定理

定理的文字表述是： 静系下的质点系动能 等于 质心相对静系的动能与质心系下质点系的动能之和

关键点在于质点系在质心系下的总动量为零

$\boldsymbol v_i=\boldsymbol v_C+\boldsymbol v_{iC}$ $\boldsymbol v_i$ 惯性系下质点速度； $\boldsymbol v_C$ ：质心对地速度； $\boldsymbol v_{iC}$ ：质点i相对质心的速度 $v_i^2=\boldsymbol v_i\cdot\boldsymbol v_i=v_C^2+2\boldsymbol v_C\cdot\boldsymbol v_{iC}+v_{iC}^2$

$\begin{align*} E_\mathrm k &=\sum\frac12m_iv_i^2 =\sum\frac12m_i\big(v_C^2+2\boldsymbol v_C\cdot\boldsymbol v_{iC}+v_{iC}^2\big) \\ &=\frac12\big(\sum m_i\big)v_C^2+\boldsymbol v_C\cdot\big(\sum m_i\boldsymbol v_{iC}\big)+\sum\frac12m_iv_{iC}^2 \end{align*}$