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外观

Chapter 1 物体的机械运动

约 4360 字大约 15 分钟

2026-4-14

一、质点

当我们拿到一个物体，我们如何该描述它？

1.大小（shape）；2.形状； 3.“内质”质量

在初中，质量定义为”组成物体的物质多少“，并且告诉我们质量不等同于重量，比如同一物体在地球和月球的重力不同。在高中这与物质的量相关。但是这个定义被马赫批判，即质量的定义是与整个时空联系起来的，一个虚空中自由运动的质点无法定义质量，无法测量质量，惯性质量和马赫的思想一致。质量起源角度还有Higgs机制，Higgs指代希格斯粒子。

从动力学角度（ F⃗=ma⃗\vec{F}=m\vec{a} ）得到的 mIm_I 称为惯性质量（本门课中使用）

相互作用（耦合）下，有引力质量 mGm_G

等效原理说明了 mI=mGm_I = m_G ，所以我们高中的时候可以这样写 mIa⃗=GNMGmGr2=FG⃗m_I\vec{a}=G_N\dfrac{M_Gm_G}{r^2}=\vec{F_G}

“大小”“形状”不重要时，把物体抽象成点“质点”：质量[M]···kg（严格来说这里指的是物体静止时的质量，没有相对论质量）

如果不能抽象成点，有质点系：刚体、流体….

物理可以分为运动学(kinetics)和动力学(dynamics)，排列组合一下就成了我们课程的内容

二、质点运动学

运动是“变化”，是相对的，选作参考的我们称为参考点和参考系。经典力学有三要素space-time-matter

有重要的 相对性原理 要熟记：“ 物理规律与参考系的选择无关 ”。

1.空间：来源于物体的“延展性”extended，是相对的位置。

取一个参照点，任何一个质点可以相对于参考点可以做尺规作图，尺表示方向，是平行关系；规表示长度，这样就找到了 位置矢量 r⃗\vec{r} 。空间的定义需要0点和间隔，在 E3E^3 Euclid三维空间里（均匀，各向同性），有平移和空间旋转不变性，且尺规作图的位置矢量与时间无关。对于参考点O，比如直角坐标系 (x,y,z)(x,y,z) 或者是 r⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{r} =x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} , i⃗\vec{i} 是单 位（大小）常（方向）矢量。

位移矢量 是位置矢量之差 Δr⃗=r⃗−rO⃗=(r⃗−rO′⃗)−(rO⃗−rO′⃗)\Delta\vec{r} = \vec{r}-\vec{r_O}=(\vec{r}-\vec{r_{O'}})-(\vec{r_O}-\vec{r_{O'}}) ，显然 O′O' 点是任选的，这是平移不变性，位移矢量与参考点的选择无关，量纲为[L]。

2.时间：时间也要确定0点和时率，在空间上每一点放置一个0点和时率都一样的时钟，称为“标准钟”，把这些时钟同步称为“对钟”。同步时参考点 OO 的时钟记录的时间变化才和参考系内其他点一致，才能描述其他点的物理过程的时间变化，时间的量纲[T]。

所以对钟的方法很关键，方法1：将时钟从参考点 OO 处缓慢地移到空间的每一点，缓慢为了避免运动对时间的影响，但是不完美。方法2：某一具体的物理过程，它和参考点或参考系的选择无关，运动和对钟相关联（这是相对论观点）。

我们可以来讨论质点运动了

速度

P:t→ΔtP:t\to \Delta t

Δr=r⃗(t+Δt)−r⃗(t)\Delta r=\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)

平均速度 v⃗ˉ=Δr⃗Δt⃗\bar{\vec{v}}=\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta\vec{t}}

(瞬时)速度 v⃗=limΔt→0Δr⃗Δt⃗=dr⃗dt\vec{v}=\underset{\Delta t \to 0}{lim}\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta\vec{t}} = \dfrac{d\vec{r}}{dt}

路程 Δs2=Δr⃗⋅Δr⃗\Delta s^2 = \Delta \vec{r}·\Delta \vec{r} （ Δr⃗→0\Delta \vec{r} \to 0 ）, ds2=dr⃗⋅dr⃗ds^2 = d\vec{r}·d\vec{r}

速率 v=∣v⃗∣=limΔt→0∣Δr⃗∣Δt⃗=dsdtv=|\vec{v}|=\underset{\Delta t \to 0}{lim}\dfrac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta\vec{t}} = \dfrac{ds}{dt}

直角坐标系：

r⃗(t)=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{r}(t) =x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}

dr⃗=d(xi⃗+yj⃗+zk⃗)=i⃗dx+j⃗dy+k⃗dzd\vec{r} =d(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k})=\vec{i}dx+\vec{j}dy+\vec{k}dz

提到微分算子 dd 该想到什么？

1.线性： d(af+bg)=adf+bdgd(af+bg)=adf+bdg ， a,b∈R,f,g∈C∞(M)a,b\in \mathbb{R},f,g\in C^\infty(M) ,M上光滑函数

2.莱布尼兹规则： dfg=gdf+fdgdfg=gdf+fdg

故 d(xi⃗)=i⃗dx+xdi⃗=i⃗dxd(x\vec{i})=\vec{i}dx+xd\vec{i}=\vec{i}dx

进一步 v⃗=dr⃗dt=i⃗dx+j⃗dy+k⃗dzdt=i⃗dxdt+j⃗dydt+k⃗dzdt=i⃗vx+j⃗vy+k⃗vz\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\dfrac{\vec{i}dx+\vec{j}dy+\vec{k}dz}{dt}=\vec{i}\dfrac{dx}{dt}+\vec{j}\dfrac{dy}{dt}+\vec{k}\dfrac{dz}{dt}=\vec{i}v_x+\vec{j}v_y+\vec{k}v_z

直角坐标系下路程表示为：

ds2=dr⃗⋅dr⃗=(i⃗vx+j⃗vy+k⃗vz)(i⃗vx+j⃗vy+k⃗vz)=dx2+dy2+dz2ds^2= d\vec{r}·d\vec{r}=(\vec{i}v_x+\vec{j}v_y+\vec{k}v_z)(\vec{i}v_x+\vec{j}v_y+\vec{k}v_z)=dx^2+dy^2+dz^2 或者按照点积算也可

由微元法 Δs2=Δx2+Δy2+Δz2\Delta s^2 = \Delta x^2 +\Delta y^2 +\Delta z^2 平均速度为 vˉ=ΔsΔt=(ΔxΔt)2+(ΔyΔt)2+(ΔzΔt)2\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta z}{\Delta t}\right)^2}

弧长二次型矩阵表达,进行施密特正交化

ds2=(dxdydz)(100010001)(dxdydz)ds^2= \begin{pmatrix}dx&dy&dz\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}dx\\dy\\dz \end{pmatrix}

记号约定：x1=x, x2=y, x3=z,ds2=∑i,j=13δijdxidxjx^1=x,\,x^2=y,\,x^3=z, ds^2=\sum_{i,j=1}^3\delta_{ij}dx^idx^j

克罗内克符号 δij\delta_{ij} ,定义: δij={1,i=j0,i≠j\delta_{ij}= \begin{cases} 1,\quad i=j\\ 0,\quad i\ne j \end{cases}

v⃗=dr⃗dt=dr⃗ds⋅dsdt=v dr⃗ds\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\dfrac{d\vec{r}}{ds}\cdot\dfrac{ds}{dt}=v\,\dfrac{d\vec{r}}{ds}

这样能知道弧长为参数定义的速度为大小为1的单位矢量，但不是常矢量，方向会变

加速度

a⃗=limΔt→0Δv⃗Δt⃗=dv⃗dt=d2r⃗dt2\vec{a}=\underset{\Delta t \to 0}{lim}\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta\vec{t}} =\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}

继续求导还可以得到三阶导jerk和四阶导snap

初始条件 t0t_0 为初始时刻， r0⃗\vec{r_0} 为初始位置

∫r0⃗r⃗dr⃗=∫t0tv⃗dt\int^{\vec{r}}_{\vec{r_0}}d\vec{r}=\int^t_{t_0}\vec{v}dt ,即是 r⃗(t)−r⃗=∫t0tv⃗(t)dt\vec{r}(t)-\vec{r}=\int^t_{t_0}\vec{v}(t)dt

r⃗=∫v⃗ dt\vec{r}=\int \vec{v}\,dt

v⃗=∫a⃗ dt\vec{v}=\int \vec{a}\,dt

v⃗(t)−v⃗(t0)=∫t0ta⃗dt\vec{v}(t)-\vec{v}{(t_0)}=\int_{t_0}^t \vec{a} dt

三、质点的一般运动形式

以t为参数

参数曲线 x=x(t),y=y(t),z=z(t)x=x(t),y=y(t),z=z(t)

r⃗(t)=(x(t),y(t),z(t))\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))

v⃗=dr⃗dt=(dx⃗dt,dy⃗dt,dz⃗dt)≠0\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=(\dfrac{d\vec{x}}{dt},\dfrac{d\vec{y}}{dt},\dfrac{d\vec{z}}{dt})\not= 0 ，定义域内任意一点切向量（导数）都不为零向量，称这个曲线是正则的

以弧长s为参数

在这个条件下求导数所得的速度 ∣v⃗∣=∣dr⃗ds∣=1|\vec{v}|=|\dfrac{d\vec{r}}{ds}|=1 ,s是正则参数

r⃗=r⃗(s),s0=0\vec{r}=\vec{r}(s),s_0=0 处的Taylor展开式

r⃗(s)=r0⃗+dr(0)⃗dss+12!d2r(0)⃗ds2s2+13!d3r(0)⃗ds3s3+o(s3)\vec{r}(s)=\vec{r_0}+\dfrac{\vec{dr(0)}}{ds}s+\dfrac{1}{2!}\dfrac{\vec{d^2r(0)}}{ds^2}s^2+\dfrac{1}{3!}\dfrac{\vec{d^3 r(0)}}{ds^3}s^3+o(s^3 )

切矢量 T(0)⃗=dro⃗ds\vec{T(0)}=\dfrac{d\vec{r_o}}{ds}

0=dds<dr⃗ds,dr⃗ds>=2<d2r⃗ds2,dr⃗ds>0=\dfrac{d}{ds}<\dfrac{d\vec{r}}{ds},\dfrac{d\vec{r}}{ds}>=2<\dfrac{d^2\vec{r}}{ds^2},\dfrac{d\vec{r}}{ds}> ,说明了 d2r⃗ds2\dfrac{d^2\vec{r}}{ds^2} 垂直于 dr⃗ds\dfrac{d\vec{r}}{ds}

定义法矢量 N(s)⃗=d2r⃗ds2/∣d2r⃗ds2∣\vec{N(s)}=\dfrac{d^2\vec{r}}{ds^2}/|\dfrac{d^2\vec{r}}{ds^2}|

副法矢量 B(0)⃗=T(0)⃗×N(0)⃗\vec{B(0)}=\vec{T(0)}\times \vec{N(0)} 构成右手系

曲率、挠率

记 κ=∣d2r⃗ds2(0)∣\kappa = \left|\dfrac{d^2\vec{r}}{ds^2}(0)\right| ,称为曲线 CC 在 r⃗0\vec{r}_0 处的曲率；

τ=1κ⟨d3r⃗ds3(0),B⃗(0)⟩\tau = \dfrac{1}{\kappa} \left\langle \dfrac{d^3\vec{r}}{ds^3}(0), \vec{B}(0) \right\rangle 称为曲线 CC 在 r⃗0\vec{r}_0 点处的挠率。

挠率相关推导

设空间曲线 r⃗(s)\vec{r}(s) 以弧长 ss 为参数，其单位切向量、主法向量、副法向量分别为：

T⃗(s)=dr⃗ds,N⃗(s)=1κdT⃗ds,B⃗(s)=T⃗(s)×N⃗(s)\vec{T}(s) = \frac{d\vec{r}}{ds}, \quad \vec{N}(s) = \frac{1}{\kappa}\frac{d\vec{T}}{ds}, \quad \vec{B}(s) = \vec{T}(s) \times \vec{N}(s)

对副法向量 B⃗(s)\vec{B}(s) 求导： dB⃗ds=dds(T⃗×N⃗)\dfrac{d\vec{B}}{ds} = \dfrac{d}{ds}\left(\vec{T} \times \vec{N}\right)

根据向量叉乘求导法则： dds(u⃗×v⃗)=du⃗ds×v⃗+u⃗×dv⃗ds\dfrac{d}{ds}(\vec{u} \times \vec{v}) = \dfrac{d\vec{u}}{ds} \times \vec{v} + \vec{u} \times \dfrac{d\vec{v}}{ds}

代入 u⃗=T⃗,v⃗=N⃗\vec{u} = \vec{T}, \vec{v} = \vec{N}，得：

dB⃗ds=dT⃗ds×N⃗+T⃗×dN⃗ds\frac{d\vec{B}}{ds} = \frac{d\vec{T}}{ds} \times \vec{N} + \vec{T} \times \frac{d\vec{N}}{ds}

由于 dT⃗ds=κN⃗\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa \vec{N}，第一项为：dT⃗ds×N⃗=κN⃗×N⃗=0⃗\dfrac{d\vec{T}}{ds} \times \vec{N} = \kappa \vec{N} \times \vec{N} = \vec{0}

因此： dB⃗ds=T⃗×dN⃗ds\dfrac{d\vec{B}}{ds} = \vec{T} \times \dfrac{d\vec{N}}{ds}

可以证明 dB⃗ds\dfrac{d\vec{B}}{ds} 与 B⃗\vec{B} 正交，由式子得出与 T⃗\vec{T} 正交,故其与 N⃗\vec{N} 共线，于是定义： dB⃗ds=−τ(s)N⃗(s)\dfrac{d\vec{B}}{ds} = -\tau(s) \vec{N}(s)

Frenet公式、定理

设曲线 CC 在各点处的曲率均不为 00，r⃗∈C\vec{r} \in C，则称 {r⃗:T⃗,N⃗,B⃗}\{\vec{r}: \vec{T}, \vec{N}, \vec{B}\} 为曲线在 r⃗\vec{r} 点处的 Frenet 标架。

定理：ss 是弧长参数，{r⃗(s):T⃗(s),N⃗(s),B⃗(s)}\{\vec{r}(s): \vec{T}(s), \vec{N}(s), \vec{B}(s)\} 为 Frenet 标架，则：

  1. Frenet 标架是右手幺正标架；

  2. dr⃗ds=T⃗(s)\frac{d\vec{r}}{ds} = \vec{T}(s)

    dds(T(s)N(s)B(s))=(0κ(s)0−κ(s)0τ(s)0−τ(s)0)(T(s)N(s)B(s))\frac{d}{ds} \begin{pmatrix} T(s) \\ N(s) \\ B(s) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa(s) & 0 \\ -\kappa(s) & 0 & \tau(s) \\ 0 & -\tau(s) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} T(s) \\ N(s) \\ B(s) \end{pmatrix}

四、正交曲线坐标系

一个矢量可以在任意基底下展开 设空间点的位置向量可表示为曲线坐标 (q1,q2,q3)(q_1, q_2, q_3) 的函数：

r⃗=r⃗(q1,q2,q3)=(x(q1,q2,q3), y(q1,q2,q3), z(q1,q2,q3))\vec{r} = \vec{r}(q_1, q_2, q_3) = \left( x(q_1, q_2, q_3),\ y(q_1, q_2, q_3),\ z(q_1, q_2, q_3) \right)

柱坐标： e⃗r,e⃗θ,e⃗z\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z

球坐标： e⃗r,e⃗θ,e⃗φ\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi

柱坐标系

以柱坐标 (ρ,θ,z)(\rho, \theta, z) 为例， r⃗=(ρcos⁡θ, ρsin⁡θ, z)\vec{r} = (\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta,\ z) ：

e⃗ρ=∂r⃗∂ρ/∣∂r⃗∂ρ∣=(cos⁡θ, sin⁡θ, 0)\displaystyle \vec{e}_\rho = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \rho} \bigg/ \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \rho} \right| = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 0)

e⃗θ=∂r⃗∂θ/∣∂r⃗∂θ∣=(−sin⁡θ, cos⁡θ, 0)\displaystyle \vec{e}_\theta = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \bigg/ \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \right| = (-\sin\theta,\ \cos\theta,\ 0)

e⃗z=∂r⃗∂z/∣∂r⃗∂z∣=(0, 0, 1)\displaystyle \vec{e}_z = \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} \bigg/ \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} \right| = (0,\ 0,\ 1) 柱坐标基向量与直角坐标基向量 (e⃗1,e⃗2,e⃗3)=(i⃗,j⃗,k⃗)(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) = (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) 的关系：

{e⃗ρ=cos⁡θ i⃗+sin⁡θ j⃗e⃗θ=−sin⁡θ i⃗+cos⁡θ j⃗e⃗z=k⃗\begin{cases} \vec{e}_\rho = \cos\theta\,\vec{i} + \sin\theta\,\vec{j} \\ \vec{e}_\theta = -\sin\theta\,\vec{i} + \cos\theta\,\vec{j} \\ \vec{e}_z = \vec{k} \end{cases}

  1. 位置向量的表示（柱坐标）

r⃗=ρ e⃗ρ+z e⃗z\vec{r} = \rho\,\vec{e}_\rho + z\,\vec{e}_z

  1. 基向量对时间的导数（柱坐标） 以 e⃗ρ\vec{e}_\rho 为例，对 t 求导：

de⃗ρdt=∂e⃗ρ∂ρdρdt+∂e⃗ρ∂θdθdt+∂e⃗ρ∂zdzdt\dfrac{d\vec{e}_\rho}{dt} = \dfrac{\partial \vec{e}_{\rho}}{\partial \rho}\dfrac{d\rho}{dt}+\dfrac{\partial \vec{e}_{\rho}}{\partial \theta}\dfrac{d\theta}{dt}+\dfrac{\partial \vec{e}\rho}{\partial z}\dfrac{dz}{dt}

∂e⃗ρ∂ρ=0,∂e⃗ρ∂θ=(−sin⁡θ, cos⁡θ, 0)=e⃗θ,∂e⃗ρ∂z=0\dfrac{\partial \vec{e}_\rho}{\partial \rho} = 0,\quad \dfrac{\partial \vec{e}_\rho}{\partial \theta} = (-\sin\theta,\ \cos\theta,\ 0) = \vec{e}_\theta,\quad \dfrac{\partial \vec{e}_\rho}{\partial z} = 0

因此：

de⃗ρdt=e⃗θdθdt\dfrac{d\vec{e}_\rho}{dt} = \vec{e}_\theta \dfrac{d\theta}{dt}

同理可得：

de⃗θdt=−e⃗ρdθdt,de⃗zdt=0\dfrac{d\vec{e}_\theta}{dt} = -\vec{e}_\rho \dfrac{d\theta}{dt},\quad \dfrac{d\vec{e}_z}{dt} = 0

球坐标

{x=rsin⁡θcos⁡φy=rsin⁡θsin⁡φz=rcos⁡θ\begin{cases} x = r\sin\theta\cos\varphi \\ y = r\sin\theta\sin\varphi \\ z = r\cos\theta \end{cases}

r：点到原点的距离（径向）

θ\theta ：极角，从 z 轴正方向往下量的角度（范围 0∼π0 \sim \pi ）

φ\varphi ：方位角，在 xy 平面内绕 z 轴的角度（范围 0∼2π0 \sim 2\pi）

柱坐标下速度与加速度推导

v⃗=dr⃗dt=ddt(ρe⃗ρ+ze⃗z)=dρdte⃗ρ+ρde⃗ρdt+dzdte⃗z+zde⃗zdt=ρ˙e⃗ρ+ρθ˙e⃗θ+z˙e⃗z\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \rho \vec{e}_\rho + z \vec{e}_z \right) \\ = \frac{d\rho}{dt}\vec{e}_\rho + \rho \frac{d\vec{e}_\rho}{dt} + \frac{dz}{dt}\vec{e}_z + z \frac{d\vec{e}_z}{dt} \\ = \dot{\rho}\vec{e}_\rho + \rho \dot{\theta}\vec{e}_\theta + \dot{z}\vec{e}_z

a⃗=dv⃗dt=d2r⃗dt2=ddt(ρ˙e⃗ρ+ρθ˙e⃗θ+z˙e⃗z)=(ρ¨−ρθ˙2)e⃗ρ+(ρθ¨+2ρ˙θ˙)e⃗θ+z¨e⃗z{\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left( \dot{\rho}\vec{e}_\rho + \rho \dot{\theta}\vec{e}_\theta + \dot{z}\vec{e}_z \right) \\ = \left( \ddot{\rho} - \rho\dot{\theta}^2 \right)\vec{e}_\rho + \left( \rho\ddot{\theta} + 2\dot{\rho}\dot{\theta} \right)\vec{e}_\theta + \ddot{z}\vec{e}_z}

五、坐标变换与基底变换

  1. 基底变换

从旧基底 {e⃗1,…,e⃗n}\{\vec{e}_1,\dots,\vec{e}_n\} 到新基底 {e⃗q1,…,e⃗qn}\{\vec{e}_{q_1},\dots,\vec{e}_{q_n}\} 的变换关系：

(e⃗q1e⃗q2⋮e⃗qn)=(∂x1∂q1∂x1∂q2…∂x1∂qn∂x2∂q1∂x2∂q2…∂x2∂qn⋮⋮⋱⋮∂xn∂q1∂xn∂q2…∂xn∂qn)(e⃗1e⃗2⋮e⃗n) \begin{pmatrix} \vec{e}_{q_1} \\ \vec{e}_{q_2} \\ \vdots \\ \vec{e}_{q_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x^1}{\partial q^1} & \dfrac{\partial x^1}{\partial q^2} & \dots & \dfrac{\partial x^1}{\partial q^n} \\[6pt] \dfrac{\partial x^2}{\partial q^1} & \dfrac{\partial x^2}{\partial q^2} & \dots & \dfrac{\partial x^2}{\partial q^n} \\[6pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[6pt] \dfrac{\partial x^n}{\partial q^1} & \dfrac{\partial x^n}{\partial q^2} & \dots & \dfrac{\partial x^n}{\partial q^n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{e}_1 \\ \vec{e}_2 \\ \vdots \\ \vec{e}_n \end{pmatrix}

右侧的矩阵称为 Jacobi矩阵。

  1. 坐标微分与基底的对偶关系

坐标变换关系：xi=xi(qj),(i,j=1,…,n)x^i = x^i(q^j),(i,j=1,\dots,n)

微分形式（链式法则）： dxi=∑j=1n∂xi∂qjdqjdx^i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial x^i}{\partial q^j} dq^j

e⃗i=∑j=1n∂qj∂xidqj\vec{e}_i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial q^j}{\partial x^i} dq^j

逆变矢量的坐标变换

对于逆变矢量 ViV^i ，在坐标变换 x→x′x \to x' 下的变换规则： V′i=∑j=1n∂x′i∂xjVj=∂x′i∂xjVjV'^i = \sum_{j=1}^n \dfrac{\partial x'^i}{\partial x^j} V^j = \dfrac{\partial x'^i}{\partial x^j} V^j

（Einstein约定：重复出现的指标默认求和，省略 ∑\sum 符号）

协变矢量（基底）的坐标变换 e⃗i′=∑j=1n∂xj∂x′ie⃗j=∂xj∂x′ie⃗j\vec{e}'_i = \sum_{j=1}^n \dfrac{\partial x^j}{\partial x'^i} \vec{e}_j = \dfrac{\partial x^j}{\partial x'^i} \vec{e}_j

六、对钟

相对论基础

1.基本定义与原时

速度定义：v⃗=dr⃗dτ\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{d\tau}

光速不变：∣c⃗∣=c|\vec{c}|=c（常数，无穷大）

四维间隔推导：

∣c⃗∣2=dr⃗dτ⋅dr⃗dτ  ⟹  ∣c⃗∣2dτ2=dr⃗⋅dr⃗c2dt2−dr⃗⋅dr⃗=常数定义为 c2dτ2（原时）|\vec{c}|^2 = \dfrac{d\vec{r}}{d\tau} \cdot \dfrac{d\vec{r}}{d\tau} \implies |\vec{c}|^2 d\tau^2 = d\vec{r} \cdot d\vec{r}c^2 dt^2 - d\vec{r} \cdot d\vec{r} = \text{常数} \quad \text{定义为 } c^2 d\tau^2 \text{（原时）}

  1. 原时与坐标时的关系

  • 静止参考系（ dr⃗dτ=0⃗\dfrac{d\vec{r}}{d\tau} = \vec{0} ）：dτ2=0d\tau^2 = 0

  • 运动参考系（ ∣v⃗∣=∣dr⃗dt∣≤c|\vec{v}| = \left|\dfrac{d\vec{r}}{dt}\right| \le c ）：dτ2≥0d\tau^2 \ge 0

  • 钟慢效应公式：

dτ=1−1c2(dr⃗dt⋅dr⃗dt)dtd\tau = \sqrt{1 - \dfrac{1}{c^2}\left(\dfrac{d\vec{r}}{dt} \cdot \dfrac{d\vec{r}}{dt}\right)} dt

dt=dτ1−v2/c2≥dτ(钟慢)dt = \dfrac{d\tau}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \ge d\tau \quad (\text{钟慢})

  1. 参考系变换下的不变性

设参考系 S→S′→S′′，对应(t,x)→(t′,x′)→(t′′,x′′)S \to S' \to S''，对应 (t,x) \to (t',x') \to (t'',x'')

  • S系：c2dτ2=c2dt2−dr⃗⋅dr⃗c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2 - d\vec{r} \cdot d\vec{r}

  • S'系：c2dτ′2=c2dt′2−dr⃗′⋅dr⃗′c^2 d\tau'^2 = c^2 dt'^2 - d\vec{r}' \cdot d\vec{r}'

  • S''系：c2dτ′′2=c2dt′′2−dr⃗′′⋅dr⃗′′c^2 d\tau''^2 = c^2 dt''^2 - d\vec{r}'' \cdot d\vec{r}''

  • 不变性证明：

dτ′2dτ′′2=a(∣v⃗1∣)a(∣v⃗2∣)=11=1\dfrac{d\tau'^2}{d\tau''^2} = \dfrac{a(|\vec{v}_1|)}{a(|\vec{v}_2|)} = \dfrac{1}{1} = 1

S→S′ 与 S→S′′ 满足 c2dτ′2=c2dτ′′2(不变量)S \to S' \text{ 与 } S \to S'' \text{ 满足 } c^2 d\tau'^2 = c^2 d\tau''^2 \quad (\text{不变量})

  1. 光信号与洛伦兹变换推导
  • 光信号坐标关系：

t′=tA+tB2,x′=c⋅tB−tA2t' = \frac{t_A + t_B}{2}, \quad x' = c \cdot \frac{t_B - t_A}{2}

{x−xA=c(t−tA)x−xB=−c(t−tB)\begin{cases} x - x_A = c(t - t_A) \\ x - x_B = -c(t - t_B) \end{cases}

反解得到：

{tA=t′−x′ctB=t′+x′c\begin{cases} t_A = t' - \frac{x'}{c} \\ t_B = t' + \frac{x'}{c} \end{cases}

{x−ct=xA−ctA=f1(tA)−cf0(tA)x+ct=xB+ctB=f1(tB)+cf0(tB)\begin{cases} x - ct = x_A - ct_A = f_1(t_A) - c f_0(t_A) \\ x + ct = x_B + ct_B = f_1(t_B) + c f_0(t_B) \end{cases}

  • 变换形式：

t=f0(τ)=f1(τ)t = f_0(\tau) = f_1(\tau)

{x−ct=f1(t′−x′c)−cf0(t′−x′c)x+ct=f1(t′+x′c)+cf0(t′+x′c)\begin{cases} x - ct = f_1\left(t' - \frac{x'}{c}\right) - c f_0\left(t' - \frac{x'}{c}\right) \\ x + ct = f_1\left(t' + \frac{x'}{c}\right) + c f_0\left(t' + \frac{x'}{c}\right) \end{cases}

  1. 低速近似与伽利略变换

当 S→S′S \to S' 时，设 x=vtx = vt ：

c2dτ2=c2dt2−dx2=c2(1−v2c2)dt2c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2 - dx^2 = c^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)dt^2

dτ=1−v2c2dtd\tau = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} dt

  1. 固有时积分形式

τ=∫0tdτ=∫0t1−v2c2dt\tau = \int_0^t d\tau = \int_0^t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} dt

τ=1−v2c2t,t=11−v2/c2τ=γτ\tau = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} t, \quad t = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \tau = \gamma \tau

其中 t=f0(τ)=γτ，x=γvtt = f_0(\tau) = \gamma \tau，x = \gamma vt

  1. 洛伦兹变换的完整形式

从 x±ctx \pm ct 的变换推导：

x±ct=f1(t′±x′c)±f0(t′±x′c)=γv(t′±x′c)±γ(t′±x′c)x \pm ct = f_1\left(t' \pm \frac{x'}{c}\right) \pm f_0\left(t' \pm \frac{x'}{c}\right) = \gamma v\left(t' \pm \frac{x'}{c}\right) \pm \gamma\left(t' \pm \frac{x'}{c}\right)

化简得到：

{t=γ(t′+vc2x′)x=γ(x′+vt′)与逆变换：{t′=γ(t−vc2x)x′=γ(x−vt)\begin{cases} t = \gamma\left(t' + \frac{v}{c^2}x'\right) \\ x = \gamma(x' + vt') \end{cases} \quad \text{与逆变换：} \quad \begin{cases} t' = \gamma\left(t - \frac{v}{c^2}x\right) \\ x' = \gamma(x - vt) \end{cases}

其中洛伦兹因子 γ=11−v2/c2\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

  1. 低速近似（ v≪cv \ll c ）

γ≈1\gamma \approx 1 ，退化为伽利略变换：

{t′≈tx′≈x−vt\begin{cases} t' \approx t \\ x' \approx x - vt \end{cases}

伽利略变换下的不变量： dt′=dt，dr⃗′2=dr⃗−dr⃗0dt' = dt，d\vec{r}'^2 = d\vec{r} - d\vec{r}_0

七、极坐标

位置矢量： r⃗=re⃗r\vec{r} = r\vec{e}_r

速度推导：

v⃗=dr⃗dt=d(re⃗r)dt=r˙e⃗r+re⃗˙r=r˙e⃗r+rθ˙e⃗θ\vec{v} = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \dfrac{d(r\vec{e}_r)}{dt} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\vec{e}}_r = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta

第一项为相对速度，第二项是牵连速度

加速度推导：

a⃗=dv⃗dt=r¨e⃗r+r˙e⃗˙r+r˙θ˙e⃗θ+rθ¨e⃗θ+rθ˙e⃗˙θ\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \ddot{r}\vec{e}_r + \dot{r}\dot{\vec{e}}_r + \dot{r}\dot{\theta}\vec{e}_\theta + r\ddot{\theta}\vec{e}_\theta + r\dot{\theta}\dot{\vec{e}}_\theta

代入 e⃗˙r=θ˙e⃗θ、e⃗˙θ=−θ˙e⃗r\dot{\vec{e}}_r = \dot{\theta}\vec{e}_\theta、\dot{\vec{e}}_\theta = -\dot{\theta}\vec{e}_r 得：

a⃗=(r¨−rθ˙2)e⃗r+(rθ¨+2r˙θ˙)e⃗θ\vec{a} = \left(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\right)\vec{e}_r + \left(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}\right)\vec{e}_\theta

a⃗=r¨e⃗r+2r˙θ˙e⃗θ+rθ¨e⃗θ−rθ˙2e⃗r\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r + 2\dot{r}\dot{\theta}\vec{e}_\theta +r\ddot{\theta}\vec{e}_\theta - r\dot{\theta}^2\vec{e}_r

径向加速度+科里奥利加速度+角加速度项+向心加速度

其中径向加速度是相对加速度，是质点相对于动系静止的速度；向心加速度叫牵连向心加速度，由于动系（牵连速度）在 eθ⃗\vec{e_\theta} 变化产生的，质点相对动系静止时只有这一项。科里奥利加速度由相对速度的方向变化和牵连速度的大小变化组成

角速度 ω=θ˙ez⃗\omega = \dot{\theta}\vec{e_z} ，角加速度 α=θ¨ez⃗\alpha = \ddot{\theta}\vec{e_z} ,其中 ez⃗×er⃗=eθ⃗\vec{e_z}\times \vec{e_r}=\vec{e_{\theta}} , ez⃗×eθ⃗=−er⃗\vec{e_z}\times \vec{e_\theta}=-\vec{e_r}

非惯性系惯性力：

F⃗科=−2mω⃗×v相⃗,F⃗离=mrω2e⃗r\vec{F}_{\text{科}} = -2m\vec{\omega} \times \vec{v_\text{相}}, \quad \vec{F}_{\text{离}} = mr\omega^2\vec{e}_r

  1. 速度合成

    dt=dt′,dr⃗′=dr⃗−dr0⃗dt=dt',d\vec{r}'=d\vec{r}-d\vec{r_0}

u⃗′=dr⃗′dt′=dr⃗dt−dr⃗0dt=v⃗+u⃗′\vec{u}' = \dfrac{d\vec{r}'}{dt'} = \dfrac{d\vec{r}}{dt} - \dfrac{d\vec{r}_0}{dt} = \vec{v} + \vec{u}'

绝对速度=牵连速度+相对速度

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2026/10/17 08:00
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