Chapter 1 物体的机械运动
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2026-4-14
一、质点
当我们拿到一个物体,我们如何该描述它?
1.大小(shape);2.形状; 3.“内质”质量
在初中,质量定义为”组成物体的物质多少“,并且告诉我们质量不等同于重量,比如同一物体在地球和月球的重力不同。在高中这与物质的量相关。但是这个定义被马赫批判,即质量的定义是与整个时空联系起来的,一个虚空中自由运动的质点无法定义质量,无法测量质量,惯性质量和马赫的思想一致。质量起源角度还有Higgs机制,Higgs指代希格斯粒子。
从动力学角度( F=ma )得到的 mI 称为惯性质量(本门课中使用)
相互作用(耦合)下,有引力质量 mG
等效原理说明了 mI=mG ,所以我们高中的时候可以这样写 mIa=GNr2MGmG=FG
“大小”“形状”不重要时,把物体抽象成点“质点”:质量[M]···kg(严格来说这里指的是物体静止时的质量,没有相对论质量)
如果不能抽象成点,有质点系:刚体、流体….
物理可以分为运动学(kinetics)和动力学(dynamics),排列组合一下就成了我们课程的内容
二、质点运动学
运动是“变化”,是相对的,选作参考的我们称为参考点和参考系。经典力学有三要素space-time-matter
有重要的 相对性原理 要熟记:“ 物理规律与参考系的选择无关 ”。
1.空间:来源于物体的“延展性”extended,是相对的位置。
取一个参照点,任何一个质点可以相对于参考点可以做尺规作图,尺表示方向,是平行关系;规表示长度,这样就找到了 位置矢量 r 。空间的定义需要0点和间隔,在 E3 Euclid三维空间里(均匀,各向同性),有平移和空间旋转不变性,且尺规作图的位置矢量与时间无关。对于参考点O,比如直角坐标系 (x,y,z) 或者是 r=xi+yj+zk , i 是单 位(大小)常(方向)矢量。
位移矢量 是位置矢量之差 Δr=r−rO=(r−rO′)−(rO−rO′) ,显然 O′ 点是任选的,这是平移不变性,位移矢量与参考点的选择无关,量纲为[L]。
2.时间:时间也要确定0点和时率,在空间上每一点放置一个0点和时率都一样的时钟,称为“标准钟”,把这些时钟同步称为“对钟”。同步时参考点 O 的时钟记录的时间变化才和参考系内其他点一致,才能描述其他点的物理过程的时间变化,时间的量纲[T]。
所以对钟的方法很关键,方法1:将时钟从参考点 O 处缓慢地移到空间的每一点,缓慢为了避免运动对时间的影响,但是不完美。方法2:某一具体的物理过程,它和参考点或参考系的选择无关,运动和对钟相关联(这是相对论观点)。
我们可以来讨论质点运动了
速度
P:t→Δt
Δr=r(t+Δt)−r(t)
平均速度 vˉ=ΔtΔr
(瞬时)速度 v=Δt→0limΔtΔr=dtdr
路程 Δs2=Δr⋅Δr ( Δr→0 ), ds2=dr⋅dr
速率 v=∣v∣=Δt→0limΔt∣Δr∣=dtds
直角坐标系:
r(t)=xi+yj+zk
dr=d(xi+yj+zk)=idx+jdy+kdz
提到微分算子 d 该想到什么?
1.线性: d(af+bg)=adf+bdg , a,b∈R,f,g∈C∞(M) ,M上光滑函数
2.莱布尼兹规则: dfg=gdf+fdg
故 d(xi)=idx+xdi=idx
进一步 v=dtdr=dtidx+jdy+kdz=idtdx+jdtdy+kdtdz=ivx+jvy+kvz
直角坐标系下路程表示为:
ds2=dr⋅dr=(ivx+jvy+kvz)(ivx+jvy+kvz)=dx2+dy2+dz2 或者按照点积算也可
由微元法 Δs2=Δx2+Δy2+Δz2 平均速度为 vˉ=ΔtΔs=(ΔtΔx)2+(ΔtΔy)2+(ΔtΔz)2
弧长二次型矩阵表达,进行施密特正交化
ds2=(dxdydz)100010001dxdydz
记号约定:x1=x,x2=y,x3=z,ds2=∑i,j=13δijdxidxj
克罗内克符号 δij ,定义: δij={1,i=j0,i=j
v=dtdr=dsdr⋅dtds=vdsdr
这样能知道弧长为参数定义的速度为大小为1的单位矢量,但不是常矢量,方向会变
加速度
a=Δt→0limΔtΔv=dtdv=dt2d2r
继续求导还可以得到三阶导jerk和四阶导snap
初始条件 t0 为初始时刻, r0 为初始位置
∫r0rdr=∫t0tvdt ,即是 r(t)−r=∫t0tv(t)dt
r=∫vdt
v=∫adt
v(t)−v(t0)=∫t0tadt
三、质点的一般运动形式
以t为参数
参数曲线 x=x(t),y=y(t),z=z(t)
r(t)=(x(t),y(t),z(t))
v=dtdr=(dtdx,dtdy,dtdz)=0 ,定义域内任意一点切向量(导数)都不为零向量,称这个曲线是正则的
以弧长s为参数
在这个条件下求导数所得的速度 ∣v∣=∣dsdr∣=1 ,s是正则参数
r=r(s),s0=0 处的Taylor展开式
r(s)=r0+dsdr(0)s+2!1ds2d2r(0)s2+3!1ds3d3r(0)s3+o(s3)
切矢量 T(0)=dsdro
0=dsd<dsdr,dsdr>=2<ds2d2r,dsdr> ,说明了 ds2d2r 垂直于 dsdr
定义法矢量 N(s)=ds2d2r/∣ds2d2r∣
副法矢量 B(0)=T(0)×N(0) 构成右手系
曲率、挠率
记 κ=ds2d2r(0) ,称为曲线 C 在 r0 处的曲率;
τ=κ1⟨ds3d3r(0),B(0)⟩ 称为曲线 C 在 r0 点处的挠率。
挠率相关推导
设空间曲线 r(s) 以弧长 s 为参数,其单位切向量、主法向量、副法向量分别为:
T(s)=dsdr,N(s)=κ1dsdT,B(s)=T(s)×N(s)
对副法向量 B(s) 求导: dsdB=dsd(T×N)
根据向量叉乘求导法则: dsd(u×v)=dsdu×v+u×dsdv
代入 u=T,v=N,得:
dsdB=dsdT×N+T×dsdN
由于 dsdT=κN,第一项为:dsdT×N=κN×N=0
因此: dsdB=T×dsdN
可以证明 dsdB 与 B 正交,由式子得出与 T 正交,故其与 N 共线,于是定义: dsdB=−τ(s)N(s)
Frenet公式、定理
设曲线 C 在各点处的曲率均不为 0,r∈C,则称 {r:T,N,B} 为曲线在 r 点处的 Frenet 标架。
定理:s 是弧长参数,{r(s):T(s),N(s),B(s)} 为 Frenet 标架,则:
- Frenet 标架是右手幺正标架;
dsdr=T(s)
dsdT(s)N(s)B(s)=0−κ(s)0κ(s)0−τ(s)0τ(s)0T(s)N(s)B(s)
四、正交曲线坐标系
一个矢量可以在任意基底下展开 设空间点的位置向量可表示为曲线坐标 (q1,q2,q3) 的函数:
r=r(q1,q2,q3)=(x(q1,q2,q3), y(q1,q2,q3), z(q1,q2,q3))
柱坐标: er,eθ,ez
球坐标: er,eθ,eφ
柱坐标系
以柱坐标 (ρ,θ,z) 为例, r=(ρcosθ, ρsinθ, z) :
eρ=∂ρ∂r/∂ρ∂r=(cosθ, sinθ, 0)
eθ=∂θ∂r/∂θ∂r=(−sinθ, cosθ, 0)
ez=∂z∂r/∂z∂r=(0, 0, 1) 柱坐标基向量与直角坐标基向量 (e1,e2,e3)=(i,j,k) 的关系:
⎩⎨⎧eρ=cosθi+sinθjeθ=−sinθi+cosθjez=k
- 位置向量的表示(柱坐标)
r=ρeρ+zez
- 基向量对时间的导数(柱坐标) 以 eρ 为例,对 t 求导:
dtdeρ=∂ρ∂eρdtdρ+∂θ∂eρdtdθ+∂z∂eρdtdz
∂ρ∂eρ=0,∂θ∂eρ=(−sinθ, cosθ, 0)=eθ,∂z∂eρ=0
因此:
dtdeρ=eθdtdθ
同理可得:
dtdeθ=−eρdtdθ,dtdez=0
球坐标
⎩⎨⎧x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθ
r:点到原点的距离(径向)
θ :极角,从 z 轴正方向往下量的角度(范围 0∼π )
φ :方位角,在 xy 平面内绕 z 轴的角度(范围 0∼2π)
柱坐标下速度与加速度推导
\begin{align*} \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} &= \frac{d}{dt}\left( \rho \vec{e}_\rho + z \vec{e}_z \right) \\ &= \frac{d\rho}{dt}\vec{e}_\rho + \rho \frac{d\vec{e}_\rho}{dt} + \frac{dz}{dt}\vec{e}_z + z \frac{d\vec{e}_z}{dt} \\ &= \dot{\rho}\vec{e}_\rho + \rho \dot{\theta}\vec{e}_\theta + \dot{z}\vec{e}_z \end{align*}
\begin{align*} \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} &= \frac{d}{dt}\left( \dot{\rho}\vec{e}_\rho + \rho \dot{\theta}\vec{e}_\theta + \dot{z}\vec{e}_z \right) \\ &= \left( \ddot{\rho} - \rho\dot{\theta}^2 \right)\vec{e}_\rho + \left( \rho\ddot{\theta} + 2\dot{\rho}\dot{\theta} \right)\vec{e}_\theta + \ddot{z}\vec{e}_z \end{align*}
五、坐标变换与基底变换
- 基底变换
从旧基底 {e1,…,en} 到新基底 {eq1,…,eqn} 的变换关系:
$\begin{pmatrix} \vec{e}{q_1} \ \vec{e} \ \vdots \ \vec{e}_{q_n} \end
\begin{pmatrix} \frac{\partial x^1}{\partial q^1} & \frac{\partial x^1}{\partial q^2} & \dots & \frac{\partial x^1}{\partial q^n} \ \vdots & & & \vdots \ \frac{\partial x^n}{\partial q^1} & \dots & & \frac{\partial x^n}{\partial q^n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{e}_1 \ \vec{e}_2 \ \vdots \ \vec{e}_n \end{pmatrix}$
右侧的矩阵称为 Jacobi矩阵。
- 坐标微分与基底的对偶关系
坐标变换关系:xi=xi(qj),(i,j=1,…,n)
微分形式(链式法则): dxi=∑j=1n∂qj∂xidqj
ei=∑j=1n∂xi∂qjdqj
逆变矢量的坐标变换
对于逆变矢量 Vi ,在坐标变换 x→x′ 下的变换规则: V′i=∑j=1n∂xj∂x′iVj=∂xj∂x′iVj
(Einstein约定:重复出现的指标默认求和,省略 ∑ 符号)
协变矢量(基底)的坐标变换 ei′=∑j=1n∂x′i∂xjej=∂x′i∂xjej
六、对钟
相对论基础
1.基本定义与原时
速度定义:v=dτdr
光速不变:∣c∣=c(常数,无穷大)
四维间隔推导:
∣c∣2=dτdr⋅dτdr⟹∣c∣2dτ2=dr⋅drc2dt2−dr⋅dr=常数定义为 c2dτ2(原时)
- 原时与坐标时的关系
静止参考系( dτdr=0 ):dτ2=0
运动参考系( ∣v∣=dtdr≤c ):dτ2≥0
钟慢效应公式:
dτ=1−c21(dtdr⋅dtdr)dt
dt=1−v2/c2dτ≥dτ(钟慢)
- 参考系变换下的不变性
设参考系 S→S′→S′′,对应(t,x)→(t′,x′)→(t′′,x′′)
S系:c2dτ2=c2dt2−dr⋅dr
S'系:c2dτ′2=c2dt′2−dr′⋅dr′
S''系:c2dτ′′2=c2dt′′2−dr′′⋅dr′′
不变性证明:
dτ′′2dτ′2=a(∣v2∣)a(∣v1∣)=11=1
S→S′ 与 S→S′′ 满足 c2dτ′2=c2dτ′′2(不变量)
- 光信号与洛伦兹变换推导
- 光信号坐标关系:
t′=2tA+tB,x′=c⋅2tB−tA
{x−xA=c(t−tA)x−xB=−c(t−tB)
反解得到:
{tA=t′−cx′tB=t′+cx′
{x−ct=xA−ctA=f1(tA)−cf0(tA)x+ct=xB+ctB=f1(tB)+cf0(tB)
- 变换形式:
t=f0(τ)=f1(τ)
⎩⎨⎧x−ct=f1(t′−cx′)−cf0(t′−cx′)x+ct=f1(t′+cx′)+cf0(t′+cx′)
- 低速近似与伽利略变换
当 S→S′ 时,设 x=vt :
c2dτ2=c2dt2−dx2=c2(1−c2v2)dt2
dτ=1−c2v2dt
- 固有时积分形式
τ=∫0tdτ=∫0t1−c2v2dt
τ=1−c2v2t,t=1−v2/c21τ=γτ
其中 t=f0(τ)=γτ,x=γvt
- 洛伦兹变换的完整形式
从 x±ct 的变换推导:
x±ct=f1(t′±cx′)±f0(t′±cx′)=γv(t′±cx′)±γ(t′±cx′)
化简得到:
{t=γ(t′+c2vx′)x=γ(x′+vt′)与逆变换:{t′=γ(t−c2vx)x′=γ(x−vt)
其中洛伦兹因子 γ=1−v2/c21
- 低速近似( v≪c )
γ≈1 ,退化为伽利略变换:
{t′≈tx′≈x−vt
伽利略变换下的不变量: dt′=dt,dr′2=dr−dr0
七、极坐标
位置矢量: r=rer
速度推导:
v=dtdr=dtd(rer)=r˙er+re˙r=r˙er+rθ˙eθ
第一项为相对速度,第二项是牵连速度
加速度推导:
a=dtdv=r¨er+r˙e˙r+r˙θ˙eθ+rθ¨eθ+rθ˙e˙θ
代入 e˙r=θ˙eθ、e˙θ=−θ˙er 得:
a=(r¨−rθ˙2)er+(rθ¨+2r˙θ˙)eθ
a=r¨er+2r˙θ˙eθ+rθ¨eθ−rθ˙2er
径向加速度+科里奥利加速度+角加速度项+向心加速度
其中径向加速度是相对加速度,是质点相对于动系静止的速度;向心加速度叫牵连向心加速度,由于动系(牵连速度)在 eθ 变化产生的,质点相对动系静止时只有这一项。科里奥利加速度由相对速度的方向变化和牵连速度的大小变化组成
角速度 ω=θ˙ez ,角加速度 α=θ¨ez ,其中 ez×er=eθ , ez×eθ=−er
非惯性系惯性力:
F科=−2mω×v相,F离=mrω2er
速度合成
dt=dt′,dr′=dr−dr0
u′=dt′dr′=dtdr−dtdr0=v+u′
绝对速度=牵连速度+相对速度
更新日志
86557-formechanics于
