Chapter 8 微分
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2025-12-08
4.1 函数的微分
Δy=f(x0+Δx)−f(x0) 为 y=f(x) 在 x0 处的增量 (若 f(x) 在 x0 可导,则 Δx→0limΔxΔy=f′(x0)
定义:设 f(x) 在 x0 附近有定义,若 ∃λ∈R,使得 f(x0+Δx)−f(x0)=λΔx+o(Δx) (Δx→0)
则称 λΔx 是 f(x) 在 x0 点关于 Δx 的微分(f(x) 在 x0 可微)
λΔx 为线性主要部分,记作 dy∣x=x0=df(x0)=λΔx
同除上面式子 Δxf(x0+Δx)−f(x0)=λ+o(1)
故 λ=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=f′(x0)
df(x)=f′(x)Δx 对 f(x) 有 dx=(x)′Δx=Δx
故 df(x)=f′(x)dx
定理:f(x) 在 x0 可导 ⟺f(x) 在 x0 可微,此时 dy∣x=x0=f′(x0)dx,f′(x0)=dxdyx=x0(微商)
f(x) 在 (a,b) 可导 ⟺f(x) 在 (a,b) 可微,且 df(x)=f′(x)dx=dy
微分运算法则
- d(f+g)=df+dg
- d(gf)=g2gdf−fdg
- d(cf)=cd(f)
复合函数的微分
设 y=f(φ(t))(即 y=f(u),u=φ(t)):
- u 为自变量:df(u)=f′(u)du
- u 为中间变量:dy=df(φ(t))=f′(φ(t))dφ(t)=f′(φ(t))φ′(t)dt=f′(u)du
一阶微分形式的不变性:无论 u 是自变量还是中间变量,dy=f′(u)du 的形式不变
如果 f(x) 二阶可导,能得到 d2y=d(df(x))=(f′′(x)dx)dx=f′′(x)(dx)2=f′′(x)dx2
dx=Δx 当成一个常数。如果还能导,可以得到 dny=f(n)dxn
高阶微分不具有不变性
y=f(x)=5x,x=et
dy=5etdt,d2y=5etdt2
假如还具有不变性,就会得到 d2y
更新日志
2025/12/19 06:14
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