Chapter 7 L'Hosptial法则
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2025-12-08
3.6 洛必达法则
定理部分
设 x→x0limf(x)=l∈R ,x→x0limg(x)=k∈R ,求 x→x0limg(x)f(x) :
- k=0 时,x→x0limg(x)f(x)=kl
- k=0 时:
- l=0 ,x→x0limg(x)f(x)=∞ (取倒数以后显而易见的)
- l=0 ,为未定式,这一类“ 00 型”有下面的定理
定理:
(1)设 f(x),g(x) 在 (a,b) 可导,且 g′(x)=0(∀x∈(a,b))
(2) x→a+0limf(x)=x→a+0limg(x)=0
(3) x→a+0limg′(x)f′(x) 存在(有限或 ∞)
则 x→a+0limg(x)f(x)=x→a+0limg′(x)f′(x)
证明:
定义 f(a)=0 ,g(a)=0 ,则 f(x),g(x) 在 [a,b] 连续,在 (a,b) 可导, ∀x∈(a,b)
由 Cauchy 中值定理,∃ξ∈(a,x) ,使得 g(x)f(x)=g(x)−g(a)f(x)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)
当 x→a+0 时,ξ→a+0 ,故 x→a+0limg(x)f(x)=ξ→a+0limg′(ξ)f′(ξ)=x→a+0limg′(a)f′(a)
重要
使用洛必达法则的时候,要检查定理的三个条件是否被满足
同时及时提前使用等价无穷小替换,提高效率
例:x→0limsinx3x−sinx=x→0limx3x−sinx=x→0lim3x21−cosx=x→0lim6xsinx=61
我们来看另一种情况
定理2:
(1)设 f(x),g(x) 在 (a,+∞) 可导,且 g′(x)=0(∀x∈(a,+∞))
(2) x→+∞limf(x)=x→+∞limg(x)=∞
(3) x→+∞limg′(x)f′(x) 存在(或为 ∞ )
则 x→+∞limg(x)f(x)=x→+∞limg′(x)f′(x)
证明(利用了上一条): x→+∞limg(x)f(x)x=t1t→0+limg(t1)f(t1)(x→+∞时t→0+) =t→0+limg′(t1)⋅(−t21)f′(t1)⋅(−t21)=t→0+limg′(t1)f′(t1)=x→+∞limg′(x)f′(x)
例: x→+∞limx12π−arctanx=x→+∞lim−x21−1+x21=x→+∞lim1+x2x2=1
定理3
设 f(x),g(x) 在 (a,b) 可导,且 g′(x)=0( ∀x∈(a,b) )
(1) x→a+0limg(x)=∞
(2) x→a+0limg′(x)f′(x) 存在(或为 ∞ )
(3) 则x→a+0limg(x)f(x)=x→a+0limg′(x)f′(x)( x→a 或 x→∞ 时也成立)
注: 本条定理省去了一个条件 : x→+∞limf(x)=0
应用部分
非常需要注意的是以上三个定理都有一个必须满足的条件
x→a+limg′(x)f′(x)exists.
如果它不存在,那么不能使用洛必达法则
一个栗子:
x→∞limxx+sinx=x→∞lim11+cosx(极限不存在),故洛必达法则不适用; 正确解法:x→∞lim(1+xsinx)=1
无穷大量增长速度比较(x→+∞)
比较 lnx、xμ(μ>0)、ex、xx 的增长速度: x→+∞limxμlnx=x→+∞limμxμ−1x1=μ1x→+∞limxμ1=0 ,即 xμ 增长快于 lnx
也有一直洛的情况: x→+∞limexxμ=μx→+∞limexxμ−1=μ(μ−1)x→+∞limexxμ−2=⋯=μ(μ−1)⋯(μ−n+1)x→+∞limexxμ−n=0
此处 n−1≤μ≤n ,洛了n次
一点都不洛的:x→+∞limxxex=x→+∞limex(1−lnx)=0
其他形式的类型也可以用适当的变换化作“ 00 型”和“ ∞∞ 型”
例:求 x→0+limxμlnx (μ>0)
x→0+limxμlnx=x→0+limx−μlnx=x→0+lim−μx−μ−1x1=−μ1x→0+limxμ=0。
例:(幂指函数)求 x→0+lim(sinx)x=x→0+limexlnsinx,其中: x→0+limxlnsinx=x→0+limx1lnsinx=x→0+lim−x21sinxcosx=x→0+limsinx−x2cosx=0,
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