Chapter 1 实数与函数理论基础
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2025-10-11
1.1 集合
有理数 Q 实数 R=(−∞,+∞)
非负整数 Z+ 非负实数 R+=[0,+∞)
1.2 映射
一、映射
两个条件:有定义域X 和 规律 f
f:X→Y f(x)=y
定义域 X=D(f) 值域 R(f)=f(x)
其中 y=f(x) 称为映射 f 之下 x 的像, x 称为在映射 f 之下 y 的原像
特征函数
XA(x)={1,0,当x∈A当x∈/A
狄利克雷函数D: R→R 如下
D(x)={1,0,if x∈Q if x∈R/Q
恒等映射 f:X→X,forallx∈X,f(x)=x 记为 f=Ix
二、单射,满射,双射
单射 若 x=y,则 f(x)=f(y)满射 f(X)=Y , Y 中任意元素都是 X 中某一元素在 f 之下的像 双射 是单射也是满射,也称一一映射,1-1到上映射
三、复合映射,可逆映射
复合映射 假定 f:X→Y 和 g:Y→Z
定义新的映射 h=g∘f:X→Z,
h(x)=g(f(x)) ,称 h=g∘f 是 f 和 g的复合映射
可逆映射 若Z=X,且f∘g=Ix,g∘f=Iy
f 是可逆的, g 是 f 的逆;g 是可逆的, f 是 g 的逆 记 f 的逆为 f−1=g
映射的复合运算满足结合律(证明?),但一般不满足交换律 一个映射可逆的充要条件是这个映射是双射
四、延拓和限制
假定 X,Y,Z 是三个集合,X⊂Y,f:Y→Z 和 g:X→Z 是两个映射,如果对 x∈X , f(x)=g(x) ,
称 f 是 g 的延拓, g 是 f 在 X 上的限制,也记 g=f∣x
1.3 函数
一、函数
X⊂R,Y⊂R, f:X→Y
如: y=f(x)=c,c代表常函数
二、性质
1、单调性
严格单调[1]的函数必存在反函数,且该函数严格单增(减),反函数严格单增(减)。
2、周期性
∃T>0,f(x+T)=f(x)
最小正周期: T 最小
有周期性,无最小正周期:狄利克雷函数(Dirichlet),常函数
3、有界性
有界函数 f:X→Y,if∃M>0,∀x∈X,∣f(x)∣≤M
否则,无界函数 若∀n、∃xn∈X,s.t.∣f(x)∣≥n
1.4 实数完备性
实数
我们先来看自然数集 N ,集合是无序的,我们人为地排序,即0,1,2,3 ⋯ (这里也提到了0算不算自然数的问题,数学分析中不认为是)
这里提到了皮亚诺公理(一种归纳法),让我抄一下百度百科
- Ⅰ、0是自然数;
- Ⅱ、每一个确定的自然数a,都具有确定的后继数a' ,a'也是自然数(数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数(a+1)。例如:1'=2,2'=3等等。);
因为它只包含有限个数。因此,我们要对自然数结构再做一下限制:
- Ⅲ、0不是任何自然数的后继数;
但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例:数字系统 0, 1, 2, 3,3,其中3的后继是3。看来,我们设置的公理还不够严密,我们还得再加一条。
- Ⅳ、不同的自然数有不同的后继数,如果自然数b、c的后继数都是自然数a,那么b=c;
最后,为了排除一些自然数中不应存在的数(如 0.3,0.22),同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理。
- Ⅴ、归纳公理:设S⊆N(自然数),且满足2个条件(i)0 ∈ S*;(ii)如果∀ n∈S,那么n'∈*S。则S是包含全体自然数的集合,即S=N。
2.有理数= qp p,q∈N (有限,无限循环小数)
无理数 无限不循环小数
有理数⋃无理数=实数
3.非规范小数:无限循环9 有下面的情况: ±b0b1⋯bp9999⋯9=±b0b1⋯(bp+1)0000⋯0(其中bp<9)
其他的是规范小数.每个实数都有唯一的规范小数表示
一、实数连续性定理
使用戴德金分割来解释, X,Y 是 R 的非空子集, ∀x∈X,y∈Y,x≤y, 则 ∃c∈R s.t.x≤c≤y
二、确界定理
任何有上界的非空子集一定有上确界,任何有下界的非空子集一定有下确界。
定义: 1、 X⊂R,∃M s.t.对 x∈X 有x≤M 上有界集 有 x≥M 下有界集 同时有上界和下界,称为有界集
2、上界中最小者 M 称 X 的上确界,记为 M=x∈Xsupx 或 supX 下界中最大者 m 称 X 的下确界,记为 m=x∈Xinfx 或 infX 上确界: ∀x∈X, 有 x≤M且 ∀ϵ>0,∃xϵ s.t.xϵ>M−ϵ
3、 X 无上界,记为 x∈Xsupx=+∞ X 无下界,记为 x∈Xinfx=−∞
ϵ 通常表示 无穷小量
三、区间套定理
实则可以说是“闭区间套定理”,因为必须是闭区间。
[an,bn](n∈Z+) 是一列闭区间,且 [an+1,bn=1]⊂[an,bn] (1) ∃c∈R s.t.c∈[an,bn](n∈Z+)
(2) ∀ 正数 ϵ>0,∃n∈N,s.t.[an,bn] 的长度 (bn−an)<ϵ ,则 c 是唯一的
或者 则 ∃ 唯一的 c∈n=1⋂∞[an,bn]
四、有限覆盖定理
假定 [a,b] 是一闭区间, A={Ua:a∈I} 是开区间族,如果 A 覆盖 [a,b] ,则有 A 的有限子族覆盖 [a,b]
或者表述为 已知 [a,b]⊂α∈I⋃Uα ,则 ∃ 有限个 U1⋯UN ,有 [a,b]⊂i=1⋃NUi
五、聚点定理
实数集 R 的任何有界无穷子集至少有一个聚点(极限点)。
定义:给定 x∈R ,包含点 x 的开区间称为 X 的邻域
对 δ>0, 开区间 (x−δ,x+δ) 称为 点 x 的 δ 领域
V\ {x} 为点 x 的去心领域
若 x1<x2 ,则 f(x1)<f(x2) ↩︎
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