Chapter 1 实数与函数理论基础

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2025-10-11

1.1 集合

有理数 $Q$ 实数 $R=(-\infin,+\infin)$
非负整数 $Z_+$ 非负实数 $R_+=[0,+\infin)$

1.2 映射

一、映射

两个条件：有定义域X 和规律 $f$
$f:X\to Y$ $f(x)=y$
定义域 $X=D(f)$ 值域 $R(f)=f(x)$
其中 $y=f(x)$ 称为映射 $f$ 之下 $x$ 的像， $x$ 称为在映射 $f$ 之下 $y$ 的原像

特征函数

X_A(x)= \begin{cases} 1,&\text{当$x\in A$}\\ 0,&\text{当$x\notin A$} \end{cases}

狄利克雷函数 $D$ : $R\to R$ 如下

D(x)= \begin{cases} 1,&\text{if $x\in Q$ }\\ 0,&\text{if $x\in R/Q$ } \end{cases}

恒等映射 $f:X\to X,forall x\in X ,f(x)=x$ 记为 $f=I_x$

二、单射，满射，双射

单射若 $x\neq y$ ，则 $f(x)\neq f(y)$ 满射 $f(X)=Y$ ， $Y$ 中任意元素都是 $X$ 中某一元素在 $f$ 之下的像双射是单射也是满射，也称一一映射，1-1到上映射

三、复合映射，可逆映射

复合映射 假定 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$
定义新的映射 $h=g\circ f :X\to Z$ ,
$h(x)=g(f(x))$ ,称 $h=g\circ f$ 是 $f$ 和 $g$ 的复合映射

可逆映射 若 $Z=X$ ,且 $f\circ g=I_x$ , $g\circ f=I_y$
$f$ 是可逆的， $g$ 是 $f$ 的逆； $g$ 是可逆的, $f$ 是 $g$ 的逆记 $f$ 的逆为 $f^{-1}=g$

映射的复合运算满足结合律(证明?)，但一般不满足交换律一个映射可逆的充要条件是这个映射是双射

四、延拓和限制

假定 $X,Y,Z$ 是三个集合， $X\subset Y$ , $f:Y\to Z$ 和 $g:X\to Z$ 是两个映射，如果对 $x\in X$ , $f(x)=g(x)$ ,
称 $f$ 是 $g$ 的延拓， $g$ 是 $f$ 在 $X$ 上的限制，也记 $g=f|_x$

1.3 函数

一、函数

$X\subset R,Y\subset R,\ f:X\to Y$

如: $y=f(x)=c$ ,c代表常函数

二、性质

1、单调性

严格单调^[1]的函数必存在反函数，且该函数严格单增（减），反函数严格单增（减）。

2、周期性

$\exist T>0,f(x+T)=f(x)$
最小正周期： $T$ 最小

有周期性，无最小正周期：狄利克雷函数(Dirichlet),常函数

3、有界性

有界函数 $f:X\to Y,if\exist M>0,\forall x\in X,|f(x)|\leq M$
否则，无界函数 $若\forall n、\exist x_n\in X,s.t.|f(x)|\geq n$

1.4 实数完备性

实数

我们先来看自然数集 $N$ ,集合是无序的,我们人为地排序,即0,1,2,3 $\cdots$ (这里也提到了0算不算自然数的问题,数学分析中不认为是)

这里提到了皮亚诺公理(一种归纳法),让我抄一下百度百科

Ⅰ、0是自然数；
Ⅱ、每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a' ，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数（a+1）。例如：1'=2，2'=3等等。）；
因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：
Ⅲ、0不是任何自然数的后继数；
但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，3，其中3的后继是3。看来，我们设置的公理还不够严密，我们还得再加一条。
Ⅳ、不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；
最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3，0.22），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。
Ⅴ、归纳公理:设S⊆N（自然数），且满足2个条件（i）0 $\in$ S*；（ii）如果∀ n∈S，那么n'∈*S。则S是包含全体自然数的集合，即S=N。

2.有理数= $\dfrac pq$ $p,q\in N$ (有限,无限循环小数)
无理数无限不循环小数
$有理数\bigcup 无理数=实数$

3.非规范小数：无限循环9 有下面的情况: $\pm b_0 b_1\cdots b_p9999\cdots 9=\pm b_0 b_1\cdots(b_p+1)0000\cdots 0(其中b_p<9)$

其他的是规范小数.每个实数都有唯一的规范小数表示

一、实数连续性定理

使用戴德金分割来解释， $X,Y$ 是 $R$ 的非空子集， $\forall x\in X,y\in Y,x\leq y,$ 则 $\exist c\in R\ s.t.x\leq c\leq y$

二、确界定理

任何有上界的非空子集一定有上确界，任何有下界的非空子集一定有下确界。

定义: 1、 $X\subset R,\exist M$ s.t.对 $x\in X\ 有x\leq M$ 上有界集有 $x\geq M$ 下有界集同时有上界和下界，称为有界集
2、上界中最小者 $M$ 称 $X$ 的上确界，记为 $M=\underset{x\in X}{sup}x$ 或 $supX$ 下界中最大者 $m$ 称 $X$ 的下确界，记为 $m=\underset{x\in X}{inf}x$ 或 $infX$ 上确界： $\forall x\in X,$ 有 $x\leq M$ 且 $\forall \epsilon>0,\exist x_\epsilon\ s.t.x_\epsilon>M-\epsilon$
3、 $X$ 无上界，记为 $\underset{x\in X}{sup}x=+\infty$ $X$ 无下界，记为 $\underset{x\in X}{inf}x=-\infin$

$\epsilon$ 通常表示 无穷小量

三、区间套定理

实则可以说是“闭区间套定理”，因为必须是闭区间。

$[a_n,b_n](n\in Z_+)$ 是一列闭区间，且 $[a_{n+1},b_{n=1}]\subset [a_n,b_n]$ (1) $\exist c\in R\ s.t.c\in [a_n,b_n](n\in Z_+)$

(2) $\forall$ 正数 $\epsilon>0,\exist n\in N,s.t.[a_n,b_n]$ 的长度 $(b_n-a_n)<\epsilon$ ,则 $c$ 是唯一的
或者则 $\exist$ 唯一的 $c\in \bigcap\limits^\infin_{n=1}[a_n,b_n]$