Lesson 3 向量空间与子空间

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2025-12-07

Part 1 向量空间

定义：向量空间 $\mathbb{R}^n$ 是具有 $n$ 个分量的列向量 $\vec{v}$ 的全体；分量为复数时为复空间 $\mathbb{C}^n$ 。
运算封闭性： $\mathbb{R}^n$ 内任意向量相加、任意数乘向量的运算结果仍在 $\mathbb{R}^n$ 内。
非 $\mathbb{R}^n$ 的向量空间示例
- 全体 $2×2$ 实矩阵构成的向量空间；
- 全体实函数构成的函数空间（ $P_n$ 表示不超过 $n$ 次多项式的全体）；
- 仅含零向量的零空间（最小的向量空间）。
$\mathbb{R}^n$ 的子空间

示例：过点 $(0,0,0)$ 的平面是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间；
定义：满足线性组合封闭（子空间内所有线性组合仍在子空间中）、含零向量的向量集合； $\mathbb{R}^3$ 的子空间包括自身、过原点的平面/直线、零空间。

矩阵的列空间
- 矩阵 $A$ 的列空间 $C(A)$ 是 $A$ 各列的全部线性组合；
- 线性方程组 $Ax=b$ 可解 $\iff b$ 在 $A$ 的列空间内；
- $m×n$ 矩阵 $A$ 的列空间是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间。

定义：零空间 $N(A)$ 由 $Ax=0$ 的全部解构成，即 $N(A)=\{x\in\mathbb{R}^n|Ax=0\}$ ，是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。
主元列与自由列：矩阵的列分为主元列（含主元的列）和自由列（不含主元的列），对自由变量赋值可求得特解。
最简行阶梯形矩阵 $R$
- 主元上方元素化为 $0$ （主元行向上消元）；
- 主元化为 $1$ （主元去除整个主元行）；
- $R$ 的主元列包含单位矩阵 $I$ 。
矩阵的秩：矩阵 $A$ 的秩为其主元的个数，记为 $rank(A)=r$ 。

方程有无解，我们要从消元法得到,先讲有解的情况 $x=x_p +x_n$ ( $x_n$ 在零空间)

特解：第一步我们找一个解：令自由变量取 $0$ ，解得 $Ax_p=b$ ， $x_p$ 为特解。

秩的定义决定了 $r\leq m,r\leq n$ ,在均小于的情况下，要么是无解要么很多解，我们要看r取最大的情况

列满秩（ $r=n$ ）
此时没有自由变量，零空间只有零向量
条件： $m\geq n$ ，最简行阶梯形 $R=\begin{bmatrix}I_{n×n}\\0_{(m-n)×n}\end{bmatrix}$ ；
结论：零空间仅含零向量 $x=0$ ，若 $Ax=b$ 有解则唯一（特解）， $A$ 的各列线性无关。
换言之，解的个数0或1
行满秩（ $r=m$ ）
必然有解
条件为 $m\leq n$ ；全解形式为 $x=x_p+x_n$ （ $x_p$ 为特解， $x_n$ 为 $Ax=0$ 的通解）
r=m=n
这是可逆矩阵， $R=I$ ,有一个解

我们知道：矩阵的秩决定了方程组解的数目

$Ax=0(m<n)$ 有解的原因：有自由变量

基的定义：生成空间的线性无关 向量组。
线性无关判定
$Ax=0$ 仅有零解时， $A$ 的各列线性无关；
$x_1 v_1 +x_2 v_2 +\cdots +x_n v_n=0$ 只有当所有系数 $x$ 等于0时才成立，则这些向量线性无关
- 列满秩（ $r=n$ ）时， $A$ 的各列线性无关；
- $\mathbb{R}^m$ 中 $n$ 个向量： $n>m$ 时必线性相关， $n=m$ 时可能线性相关/无关。
生成子空间：一组向量的线性组合充满的空间； $m×n$ 矩阵的行空间是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，且矩阵 $A$ 的行空间等于 $A^T$ 的列空间（即 $C(A^T)$ ）。
空间的基：基向量需满足线性无关且生成整个空间；可逆矩阵的列向量是一组线性无关的基。
空间的维数：每组基中的向量数量，记为 $\dim(V)$ 。

2025/12/19 06:14

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