定义1：矩阵

把 $mn$ 个数 $a_{ij}(1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ 排成一个矩形阵列，称为一个 $m \times n$ 阶矩阵

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} = (a_{ij})_{m \times n}$$

$a_{ij}$ 称为第 $(i,j)$ 元素。若 $a_{ij} \in \mathbb{R}(\mathbb{C})\ \forall i,j$ ，则称 $A$ 为实（复）矩阵
若 $\forall i,j$，$a_{ij}=0$ ，则称 $A$ 为零矩阵，记 $O_{m \times n}$

若 $m=n$ ，则称 $A$ 为 $n$ 阶的方阵。

设 $A=(a_{ij})_{n \times n}$ 为方阵，则 $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ 连成一线，称为 $A$ 的主对角线。若 $\forall i \neq j$ ， $a_{ij}=0$ ，则称 $A$ 为对角阵，简记为 $\text{diag}\{a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}\}$

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

进一步，若 $a_{11}=a_{22}=\dots=a_{nn}=1$ ，这样的对角阵称为单位阵，记为 $I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix}$ 若 $a_{ij}=0\ (\forall i > j)$ ，则称 $A$ 为上三角阵
若 $a_{ij}=0\ (\forall i < j)$，则称 $A$ 为下三角阵

定义2：矩阵相等

设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$B=(b_{ij})_{s \times t}$，$A = B \stackrel{\text{def}}{\Longleftrightarrow} m = s,\ n = t$ 且 $a_{ij} = b_{ij}\ (\forall 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$

例：

(1) $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}_{2 \times 2} \neq \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{2 \times 3}$，这也是零矩阵要标明阶数的原因

(2) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

定义3：行向量和列向量

设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$ ，则 $(a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in})$ 称为 $A$ 的第 $i$ 个行向量，$\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$ 称为$A$的第 $j$ 个列向量

称 $1 \times n$ 矩阵 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 为 $n$ 维行向量

称$n \times 1$矩阵 $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$ 为 $n$ 维列向量

记 $M_n(\mathbb{R})$ 为 $n$ 阶实矩阵全体构成的集合，$M_n(\mathbb{C})$ 为 $n$ 阶复矩阵全体构成的集合
映射（函数）det： $M_n(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$ , $A\rightarrow |A|=det(A)$

问题：（1）n阶行列式的值多大程度上反应n阶方阵的性质
（2）映射det具有什么性质

2.2 矩阵的运算

定义4 :矩阵的加减法

设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$B=(b_{ij})_{m \times n}$

$$A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}, \quad A - B = (a_{ij} - b_{ij})_{m \times n}$$

例： (1) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & -3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2) $A_{m \times n} + O_{m \times n} = A_{m \times n}$

加法性质：

(1) 交换律：$A + B = B + A$
(2) 结合律：$(A + B) + C = A + (B + C)$
(3) 零矩阵：$A + O = A$
(4) 负矩阵：对任何一个矩阵，一定存在负矩阵，$A + (-A) = O$
(5) $A - B = A + (-B)$

定义5:数乘

设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$ ，$c$ 为常数，数乘 $c \cdot A = (c \cdot a_{ij})_{m \times n}$（scalar product）

负矩阵：$-A = (-1)A = (-a_{ij})_{m \times n}$

数乘性质：

(1) 数分配律：$(c + d)A = cA + dA$
(2) 矩阵分配律：$c(A + B) = cA + cB$
(3) 数乘结合律：$(cd)A = c(dA)$
(4) 数乘单位元：$1 \cdot A = A$
(5) 数乘零元：$0 \cdot A_{m \times n} = O_{m \times n}$

定义6:矩阵乘法

设 $A=(a_{ij})_{m \times k}$ ，$B=(b_{ij})_{k \times n}$ ，定义 $A$ 与 $B$ 的乘积 $C$ 是 $m \times n$ 矩阵，其元素

$$C_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{ik}b_{kj} = \sum_{r=1}^k a_{ir}b_{rj}$$

注： (1) $A$ 的列数 = $B$ 的行数， $AB$ 才有意义
$AB$ 的行数 = $A$ 的行数， $AB$ 的列数 = $B$ 的列数
即 $A_{m \times k} \times B_{k \times n} \to AB_{m \times n}$

(2) $AB$ 的第 $(i,j)$ 元素 = $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列对应元素的乘积之和

例：$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

(3) 矩阵乘法一般不满足交换律
即使 $AB$ 、 $BA$ 都有意义，但 $AB \neq BA$
① $A=(1,1)$，$B=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，则 $AB=(2)$ ，$BA=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \neq AB$

② $A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，则 $AB=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，$BA=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \neq AB$

乘法性质：

(1) 结合律：$(AB)C = A(BC)$
(2) 分配律：$(A + B)C = AC + BC$；$A(B + C) = AB + AC$
(3) 与数乘的相容性：$c(AB) = (cA)B = A(cB)$
(4) 单位元：设 $A_{m \times n}$ ，则 $I_m A = A = A I_n$

证明结合律：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$B=(b_{ij})_{n \times p}$ ，$C=(c_{ij})_{p \times q}$

先考虑 $AB$ 的第 $(i,r)$ 元素：$\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kr}$
$(AB)C$的第 $(i,j)$ 元素：$\sum_{r=1}^p \left( \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kr} \right) c_{rj} = \sum_{r=1}^p \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kr}c_{rj}$

再考虑 $BC$ 的第 $(k,j)$ 元素：$\sum_{r=1}^p b_{kr}c_{rj}$
$A(BC)$的第 $(i,j)$ 元素：$\sum_{k=1}^n a_{ik} \left( \sum_{r=1}^p b_{kr}c_{rj} \right) = \sum_{k=1}^n \sum_{r=1}^p a_{ik}b_{kr}c_{rj}$

故 $(AB)C = A(BC)$。因此，三个矩阵相乘时可去掉括号

乘积写为 $ABC$ ，其第 $(i,j)$ 元素为 $\sum_{k=1}^n \sum_{r=1}^p a_{ik}b_{kr}c_{rj}$。

推广：对 $A_1, A_2, \dots, A_m$ ，乘积写为 $A_1 A_2 \dots A_m$

定义7:乘方

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A \cdot A = A^2$；$\forall k \geq 1$，$A^k = \underbrace{A \cdot A \cdot \dots \cdot A}_{k}$

乘方性质：

(1) $A^r A^s = A^{r+s}\ (r,s \in \mathbb{Z}^+)$

(2) $(A^r)^s = A^{rs}$

注：

(1) 设 $A$ 、$B$ 为 $n$ 阶方阵，一般地 $(AB)^r \neq A^r B^r$ ，$(AB)^r = ABAB \dots AB$（无交换律）

例：$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

$AB \neq BA$ ，且 $(AB)^2 \neq 0$，$A^2 B^2 = 0$

(2) 若 $AB = BA$ ，则 $(AB)^r = A^r B^r$ ，
进一步有 $(A + B)^m = A^m + \mathrm{C}_m^1 A^{m-1} B + \dots + \mathrm{C}_m^{m-1} A B^{m-1} + B^m$

$A \cdot I_n = I_n A = A$（纯量阵$c I_n$满足$A(c I_n) = (c I_n)A = c A$，

且 $(c I_n + A)^m = c^m I_n + \mathrm{C}_m^1 c^{m-1} A + \dots + \mathrm{C}_m^{m-1} c A^{m-1} + A^m$ ）

(3) 矩阵乘法消去律一般不成立：$AB = AC$ 且 $A \neq O \nRightarrow B = C$；
矩阵乘法整性一般不成立：$A \neq O$ ，$B \neq O \nRightarrow AB \neq O$

定义8:转置

设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$ ， $A$ 的转置 $A'$ 是 $n \times m$ 阶矩阵，$A'=(b_{ij})_{n \times m}$ ，其中 $b_{ij} = a_{ji}$
即 $A'$ 的第 $i$ 行是 $A$ 的第 $i$ 列，$A'$ 的第 $j$ 列是 $A$ 的第 $j$ 行

若 $A' = A$ ，则称 $A$ 为对称阵，例 $A=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

若 $A' = -A$ ，则称 $A$ 为反对称阵，例 $A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

转置性质：

(1) $(A')' = A$
(2) $(A + B)' = A' + B'$
(3) $(c A)' = c \cdot A'$
(4) $(AB)' = B' A'$

证明 $(AB)' = B' A'$ ：

$(AB)'$ 的第 $(i,j)$ 元素 = $AB$ 的第 $(j,i)$ 元素 = $A$ 的第 $j$ 行 $\cdot$ $B$ 的第 $i$ 列
$B' A'$ 的第 $(i,j)$ 元素 = $B'$ 的第 $i$ 行 $\cdot$ $A'$ 的第 $j$ 列 = $B$ 的第 $i$ 列 $\cdot$ $A$ 的第 $j$ 行
故 $(AB)' = B' A'$

定义9:共轭矩阵

设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$ 为复矩阵，其共轭 $\overline{A} = (\overline{a_{ij}})_{m \times n}$

共轭性质：

(1) $\overline{\overline{A}} = A$
(2) $\overline{A + B} = \overline{A} + \overline{B}$
(3) $\overline{c A} = \overline{c} \cdot \overline{A}$
(4) $\overline{A B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$
(5) $(\overline{A})' = \overline{A'}$

线性方程组的矩阵表示：

方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

令系数矩阵 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}_{m \times n}$，未知向量$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}_{n \times 1}$，常数向量 $\beta = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}_{m \times 1}$ ，则方程组等价于 $A x = \beta$

​

2.3 方阵的逆阵

类比数的除法：$b \neq 0$时 $\frac{a}{b} = a \cdot b^{-1}$ ，矩阵中 $A$ 得到 $A^{-1}$

定义1：逆阵

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶方阵 $B$ ，使得 $AB = BA = I_n$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的逆阵，记为 $A^{-1}$

若矩阵 $A$ 存在逆阵，则称为非奇异阵或可逆阵；
不存在逆阵则称为奇异阵

注： (1) 只有对方阵才有逆阵的定义，当$m \neq n$时无逆阵定义

(2) 非零矩阵不一定有逆阵

例：$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，设$B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$，则$AB = \begin{bmatrix} b_{11} + b_{21} & b_{12} + b_{22} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，故$A$不可逆

(3) 一般而言 $A^{-1} B \neq B A^{-1}$

逆阵的性质：

设 $A$ 、$B$ 为 $n$ 阶方阵

(1) 若 $A$ 可逆，则逆阵唯一
证：设 $B$ 、$C$ 均为 $A$ 的逆阵，即 $AB = BA = I_n$ ，$AC = CA = I_n$
则 $B = B I_n = B(AC) = (BA)C = I_n C = C$

(2) 设 $A$ 、$B$ 可逆，则 $AB$ 也可逆，且 $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$
证：$(AB)(B^{-1} A^{-1}) = A(BB^{-1}) A^{-1} = A I_n A^{-1} = A A^{-1} = I_n$
$(B^{-1} A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1} A)B = B^{-1} I_n B = B^{-1} B = I_n$
推广：设 $A_1, \dots, A_m$ 均为 $n$ 阶可逆阵 $(m \geq 2)$ ，则 $A_1 \dots A_m$ 也可逆，且 $(A_1 \dots A_m)^{-1} = A_m^{-1} \dots A_1^{-1}$

(3) 设 $A$ 可逆， $c \neq 0$ 为常数，则 $c A$ 也可逆，且 $(c A)^{-1} = c^{-1} A^{-1}$
证：$(c A)(c^{-1} A^{-1}) = (c c^{-1})(A A^{-1}) = I_n$，$(c^{-1} A^{-1})(c A) = (c^{-1} c)(A^{-1} A) = I_n$

(4) 设 $A$ 可逆，则 $A'$ 也可逆，且 $(A')^{-1} = (A^{-1})'$
证：$A' (A^{-1})' = (A^{-1} A)' = I_n' = I_n$，$(A^{-1})' A' = (A A^{-1})' = I_n' = I_n$

(5) 设 $A$ 可逆，则 $(A^{-1})^{-1} = A$
证：$A^{-1} A = A A^{-1} = I_n \implies (A^{-1})^{-1} = A$

(6) 可逆矩阵乘法消去律成立
设 $A$ 可逆，若 $AB = AC \implies B = C$ ；若 $BA = CA \implies B = C$

证：
对 $AB = AC$ ，两边同时左乘 $A^{-1}$ ，
得 $A^{-1} AB = A^{-1} AC \implies I_n B = I_n C \implies B = C$
对 $BA = CA$ ，两边同时右乘 $A^{-1}$ ，
得 $B A A^{-1} = C A A^{-1} \implies B I_n = C I_n \implies B = C$

(7) 整性对可逆阵成立，即 $A$ 可逆，$B \neq O \implies AB \neq O$；$C \neq O \implies CA \neq O$
证（反证法）：设 $AB = O = A \cdot O \implies B = O$ ，矛盾。利用“若 $AB = O$ 且 $A$ 可逆，则 $B = O$ “可证

定义2:伴随阵

设 $A=(a_{ij})_{n \times n}$ ，$A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 在 $|A|$ 中的代数余子式，则矩阵

$$A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{bmatrix}$$

称为 $A$ 的伴随阵，记为 $A^*$

注：$A$ 不一定可逆，但伴随阵一定存在

例：$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，则 $A^*=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

引理3：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A A^* = A^* A = |A| I_n$

证：

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |A| & 0 & \dots & 0 \\ 0 & |A| & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & |A| \end{bmatrix} = |A| I_n$$

由代数余子式的性质 $a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \dots + a_{in}A_{jn} = \delta_{ij} |A|$ ，

同理可证 $A^* A = |A| I_n$

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2025/11/5 00:54

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